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Ao escrevermos $ a+b=c $, os números $ a $ e $ b $ são chamados de parcelas, enquanto $ c $ é a soma.

Já quando escrevemos $ xy=z $, os números $ x $ e $ y $ são chamados de fatores e $ z $ de produto.

Resultados ÚteisEditar

(i) Se $ a $ é diferente de zero e $ ab=ac $, então $ b=c $.

(ii) $ ab=0 $ se, e somente se, $ a=0 $ ou $ b=0 $.

(iii) Se $ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} $, então $ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d} $.

Observações ImportantesEditar

(i) Não existe divisão por zero. A divisão $ \frac{0}{0} $ é uma indeterminação. Já se $ a $ for diferente de $ 0 $, a divisão $ \frac{a}{0} $ é impossível.

(ii) A raiz quadrada de um número só é real se esse for maior ou igual a zero.

Valor Absoluto Editar

Se $ x $ é um número real, definimos o valor absoluto de $ x $ como sendo

$ |x|={\begin{cases}x,&{\mbox{se }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{se }}x<0.\end{cases}} $

Propriedades do Valor AbsolutoEditar

(i) $ \sqrt{x^2}=|x| $

(ii) $ |ab|=|a|.|b| $

Exemplo (OBM 2005 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Dado que $ \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{11} $, qual é o valor de $ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} $?

Solução: Já que não parece haver nenhuma relação entre $ \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} $ e $ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} $, que tal relacionarmos alguma dessas expressões com outra? Observe que

$ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}=3 $.

Façamos

$ \alpha=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} $

$ \beta=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a} $.

Já vimos que $ \alpha+\beta=3 $. Façamos também

$ \gamma=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} $

Isso é interessante: se conseguirmos escrever $ \gamma $ em função de $ \alpha $ e $ \beta $, podemos usar que $ \beta=3-\alpha $ para conseguimos uma relação entre $ \gamma $ e $ \alpha $. Como descobrir esta relação? Que tal alguns valores numéricos para $ a $, $ b $ e $ c $? Vamos começar a suspeitar que $ \alpha-\beta=-\gamma $. Verifiquemos se isso é verdade ou não. Comecemos calculando $ \alpha-\beta $. Observe que

$ \alpha-\beta=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}= $

$ =\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}= $

$ =\frac{(a-b)(b+c)(c+a)+(a+b)(b-c)(c+a)+(a+b)(b+c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}(*) $.

Antes de sair fazendo as contas, vamos pensar um pouco sobre onde queremos chegar. No resultado, deve aparecer o fator $ (a-b) $. No que já temos, ele aparece na primeira parcela. Seria legal, se nas outras duas também fizéssemos ele aparecer. Vamos mexer com elas. Note que

$ (a+b)(b-c)(c+a)+(a+b)(b+c)(c-a)= $

$ =(a+b)[(b-c)(c+a)+(b+c)(c-a)]=-2c(a+b)(a-b) $.

Assim, a fração que aparece em $ (*) $ pode ser escrita como:

$ \frac{(a-b)(b+c)(c+a)-2c(a+b)(a-b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}= $

$ =\frac{(a-b)[(b+c)(c+a)-2c(a+b)]}{(a+b)(b+c)(c+a)}= $

$ =-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=-\gamma $.

Agora que já mostramos que $ \alpha-\beta=-\gamma $, como concluir? Basta combinarmos isto com $ \beta=3-\alpha $ e $ \gamma=-\frac{1}{11} $. Podemos concluir que $ \alpha=\frac{16}{11} $.