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A área de um triângulo ABC pode ser representada por [ABC] ou (ABC).

Área de um triângulo, conhecida sua alturaEditar

Seja ABC um triângulo, b a medida de um dos lados e h a medida da altura relativa à este lado. Então a área do triângulo será \frac{bh}{2}.

ProposiçãoEditar

A mediana de um triângulo divide-o em dois de mesma área. As três medianas dividem um triângulo em seis de mesma área.

Como Usar Retas Paralelas Para Mexer com ÁreasEditar

Sejam AB e CD retas paralelas distintas (com A, B, C e D pontos distintos, dois a dois). Então [ACD]=[BCD].

Exemplo (OBM 1999 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

OBM1998

Seja ABCDE um pentágono regular tal que a estrela ACEBD tem área 1. Sejam P interseção entre AC e BE e Q a interseção entre BD e CE. Determine a área de APQD.




Solução: 

Obm1998(1)

O problema é que a área que queremos determinar não tão regular assim. Nossa estratégia aqui então será a seguinte: encontrar uma área que seja igual, mas que seja mais fácil de determinar. E é aqui que vamo s usar as retas paralelas. Antes de sair mexendo com qualquer reta paralela por aí, foquemos na área que queremos determinar.

Observe que

[APQD]=[APD]+[PQD].

Além disso, se considerarmos os pontos R e S conforme a figura, note que RP e QD são paralelos, de onde segue que [PQD]=[RQD]. Mas como a estrela é regular, [RQD]=[ERS]. Com isso,

[APQD]=[APD]+[ERS]=[APDERS].

Porém [APDERS] corresponde a metade da área da estrela. Logo, [APQD]=\frac{1}{2}.

Fórmula de Heron Editar

Se soubermos as medidas dos lados de um triângulo podemos determinar a área. Sejam a,b e c as medidas dos lados de um triângulo e p o seu semiperímetro, isto é, p=\frac{a+b+c}{2}. Então a área deste triângulo será dada pela fórmula A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}..

Exemplo (Cone Sul) Editar

Dois triângulos isósceles tem lados de comprimento x,x,a e x,x,b (a \neq b) e áreas iguais. Determine x.

Solução:

Vamos calcular a área de cada um dos triângulos e depois igualar. O primeiro triângulo possui semiperímetro igual a \frac{x+x+a}{2}=x+\frac{a}{2}.

Com isso, pela Fórmula de Heron, sua área será igual a A=\sqrt{(x+\frac{a}{2})(x+\frac{a}{2}-x)(x+\frac{a}{2}-x)(x+\frac{a}{2}-a)}=\sqrt{(x+\frac{a}{2})(\frac{a}{2})^2(x-\frac{a}{2})} \Leftrightarrow  A=\frac{a}{2}\sqrt{(x^2-(\frac{a}{2})^2)}.

Analogamente, a área do outro triângulo será \frac{b}{2}\sqrt{(x^2-(\frac{b}{2})^2)}..

Com isso,

\frac{a}{2}\sqrt{(x^2-(\frac{a}{2})^2)}=\frac{b}{2}\sqrt{(x^2-(\frac{b}{2})^2)}\Leftrightarrow 
a^2.(x^2-\frac{a^2}{4})=b^2.(x^2-\frac{b^2}{4})\Leftrightarrow \Leftrightarrow a^2x^2-b^2x^2=\frac{a^4-b^4}{4} \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{a^4-b^4}{4(a^2-b^2)}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.

Cálculo da área pela trigonometriaEditar

Se ABC é um triângulo, a=BC, b=CA, então sua área será igual a

\frac{1}{2}ab \operatorname{sen} C

Cálculo da área de um triângulo usando o raio da circunferência circunscritaEditar

Uma circunferência circunscrita a um triângulo é aquela que passa pelos seus vértices.

Se os lados de um triângulo medirem a,b e c e o raio da circunferência inscrita for R, então a sua área será igual a \frac{abc}{4R}.

Prova: Sabemos que

[ABC]=\frac{1}{2}ab \operatorname{sen} C

Pela Lei dos Senos , \operatorname{sen} C=\frac{c}{2R}. Com isso,

[ABC]=\frac{abc}{4R}.

Exemplo (Cone Sul)Editar

Em um triângulo ABC, considere E um ponto sob BC tal que AE é perpendicular a BC. Prove que AE=\frac{bc}{2r}, onde r é o raio do círuclo circunscrito, b=AC e c=AB.

Solução:

Observe que AE é a altura do triângulo. Queremos relacionar a altura com o raio do círculo circunscrito r. Como podemos fazer isso? Iremos usar as áreas. Podemos calcular a área usando a altura e usando r. Faremos isto duas vezes depois compararemos os resultados (isto é o que chamamos de contagem dupla).

Para calcularmos a área dependendo da altura, se considerarmos a=BC, então ela será igual a

\frac{a.AE}{2}

Já a área em relação a r pode ser calculada da seguinte maneira:

\frac{abc}{4r}

Se compararmos os resultados: \frac{a.AE}{2}=\frac{abc}{4r} \Leftrightarrow AE=\frac{bc}{2r}.

Razão entre áreasEditar

Se dois triângulos possuem alturas iguais, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre suas bases.

Páginas RelacionadasEditar

Trigonometria

Referências BibliográficasEditar

[1] H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer : Geometry Revisited , Random House, New York, 1967

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