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A área de um triângulo $ ABC $ pode ser representada por $ [ABC] $, $ (ABC) $ ou $ S(ABC) $.

Área de um triângulo, conhecida sua alturaEditar

Seja $ ABC $ um triângulo, $ b $ a medida de um dos lados e $ h $ a medida da altura relativa à este lado. Então a área do triângulo será $ \frac{bh}{2} $.

Áreas e Razões Editar

  • Se dois triângulos possuem a mesma base, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas alturas.
  • Se dois triângulos possuem a mesma altura, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases.

ProposiçãoEditar

A mediana de um triângulo divide-o em dois de mesma área. As três medianas dividem um triângulo em seis de mesma área.

Como Usar Retas Paralelas Para Mexer com ÁreasEditar

Sejam $ AB $ e $ CD $ retas paralelas distintas (com $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ pontos distintos, dois a dois). Então $ [ACD]=[BCD] $.

Exemplo (OBM 1999 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

OBM1998

Seja $ ABCDE $ um pentágono regular tal que a estrela $ ACEBD $ tem área $ 1 $. Sejam $ P $ interseção entre $ AC $ e $ BE $ e $ Q $ a interseção entre $ BD $ e $ CE $. Determine a área de $ APQD $.



Solução: 

Obm1998(1)

O problema é que a área que queremos determinar não tão regular assim. Nossa estratégia aqui então será a seguinte: encontrar uma área que seja igual, mas que seja mais fácil de determinar. E é aqui que vamo s usar as retas paralelas. Antes de sair mexendo com qualquer reta paralela por aí, foquemos na área que queremos determinar.

Observe que

$ [APQD]=[APD]+[PQD]. $

Além disso, se considerarmos os pontos R e S conforme a figura, note que $ RP $ e $ QD $ são paralelos, de onde segue que $ [PQD]=[RQD] $. Mas como a estrela é regular, $ [RQD]=[ERS] $. Com isso,

$ [APQD]=[APD]+[ERS]=[APDERS]. $

Porém $ [APDERS] $ corresponde a metade da área da estrela. Logo, $ [APQD]=\frac{1}{2} $.

Fórmula de Heron Editar

Se soubermos as medidas dos lados de um triângulo podemos determinar a área. Sejam $ a $,$ b $ e $ c $ as medidas dos lados de um triângulo e $ p $ o seu semiperímetro, isto é, $ p=\frac{a+b+c}{2} $. Então a área deste triângulo será dada pela fórmula

$ A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. $.

A área também pode ser escrita como

$ A=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{-a+b+c}{2})(\frac{a-b+c}{2})(\frac{a+b-c}{2})}. $.

Exemplo (Cone Sul 1989) Editar

Dois triângulos isósceles tem lados de comprimento $ x,x,a $ e $ x,x,b $ ($ a \neq b $) e áreas iguais. Determine $ x $.

Solução:

Vamos calcular a área de cada um dos triângulos e depois igualar. O primeiro triângulo possui semiperímetro igual a $ \frac{x+x+a}{2}=x+\frac{a}{2}. $

Com isso, pela Fórmula de Heron, sua área será igual a $ A=\sqrt{(x+\frac{a}{2})(x+\frac{a}{2}-x)(x+\frac{a}{2}-x)(x+\frac{a}{2}-a)}=\sqrt{(x+\frac{a}{2})(\frac{a}{2})^2(x-\frac{a}{2})} \Leftrightarrow $

$ A=\frac{a}{2}\sqrt{(x^2-(\frac{a}{2})^2)}. $

Analogamente, a área do outro triângulo será $ \frac{b}{2}\sqrt{(x^2-(\frac{b}{2})^2)}. $.

Com isso,

$ \frac{a}{2}\sqrt{(x^2-(\frac{a}{2})^2)}=\frac{b}{2}\sqrt{(x^2-(\frac{b}{2})^2)}\Leftrightarrow a^2.(x^2-\frac{a^2}{4})=b^2.(x^2-\frac{b^2}{4})\Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow a^2x^2-b^2x^2=\frac{a^4-b^4}{4} \Leftrightarrow $

$ x=\sqrt{\frac{a^4-b^4}{4(a^2-b^2)}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}. $

Exemplo (OBM 2010 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Os três lados e a área de um triângulo são números inteiros. Qual é o menor valor da área desse triângulo?

Solução: Sejam $ a $,$ b $ e $ c $ as medidas dos lados de um triângulo, $ p $ o seu semiperímetro e $ A $ a sua área. Como a área é um número inteiro, precisamos que $ (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) $ seja um quadrado perfeito.

Vamos procurar qual o valor mínimo que $ a+b+c $ pode assumir. Como $ a,b,c \geq 1 $, segue que $ a+b+c \geq 3 $. Ainda parecem ser muitos casos para testarmos. Existe alguma maneira de encontrarmos alguma característica sobre $ a+b+c $ para termos menos possibilidades? Observe que

$ A=\sqrt{\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{16}}\Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow 16A^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) $.

O lado esquerdo da igualdade é múltiplo de 16. Então o lado direito também deve ser. Podemos ter $ a+b+c $ ímpar neste caso? Se isto acontecesse, então

$ -a+b+c=a+b+c-2a $,

$ a-b+c=a+b+c-2b $ e

$ a+b-c=a+b+c-2c $

também seriam ímpares. Isto implicaria que o lado direito da igualdade fosse ímpar, o que não pode acontecer. Logo, $ a+b+c $. Desta forma, $ a+b+c \geq 4 $. Analisemos então os valores de $ a+b+c $.

(i) $ a+b+c=4 $

Neste caso, pela desigualdade triangular

$ a<b+c \Rightarrow 2a<a+b+c=4 \Rightarrow a<2 \Rightarrow a=1 $.

Analogamente, $ b=c=1 $, de onde segue que $ a+b+c=3 $. Isto não pode acontecer.

(ii) $ a+b+c=6 $

Como $ a+b+c=6 $, para que $ (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) $ seja quadrado perfeito, precisamos que pelo menos algum dos números $ -a+b+c $, $ a-b+c $ ou $ a+b-c $ seja múltiplo de $ 3 $. Mas eles ainda devem ser pares. Ou seja, algum deles deve ser pelo menos $ 6 $. Mas isto não pode acontecer. Logo, este caso não é válido.

(iii) $ a+b+c=8 $

Vamos ver o que acontece com os outros fatores aqui. Eles devem ser pares e menores que $ 8 $. Alguem deles pode ser igual a $ 6 $? Como $ (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) $ precisa ser um quadrado perfeito, precisamos que algum dos outros fatores também seja $ 6 $ (para que tenhamos neste produto pelo menos dois fatores primos iguais a $ 3 $).

Suponhamos, sem perda de generalidade, que $ b+c-a=6 $ e $ a+c-b=6 $. Se somarmos estas duas igualdades, iremos obter $ c=6 $, de onde segue que $ a+b=2 $. Mas isto contradiz a Desigualdade Triangular. Desta forma, nenhum dos fatores pode ser igual a $ 6 $.

Os outros três fatores devem ser $ 2 $ ou $ 4 $. Precisamos testar todas as propriedades? Não. Basta vermos que a soma dos outros fatores deve ser $ 8 $. De fato,

$ -a+b+c+a-b+c+a+b-c=a+b+c=8 $.

Isto só pode acontecer quando dois dos fatores forem iguais a $ 2 $ e um deles for igual a $ 4 $. Mas aqui,

$ (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=8.2.2.4=128 $,

que não é um quadrado perfeito. Isto não pode acontecer. Desta forma, este caso não nos dá nenhuma informação.

(v) $ a+b+c=10 $

Este caso é análogo ao caso em que $ a+b+c=6 $ e não nos gera nenhuma solução.

(vi) $ a+b+c=12 $

Os outros fatores devem ser pares, menores que $ 12 $ e a soma deles também deve ser $ 12 $. As possibilidades para isso são

$ 2,2,8 $

$ 2,4,6 $

$ 4,4,4 $

O único caso que faz com que $ (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) $ seja um quadrado perfeito é $ 2,4,6 $.

Neste caso, uma possível solução é $ a=5 $, $ b=4 $ e $ c=3 $, o que nos dá a área igual a $ 6 $. Vamos mostrar que essa é a menor área possível.

A estratégia será a seguinte: veremos os valores mínimos de $ p $ e $ (p-a)(p-b)(p-c) $ para sabermos o valor mínimo da área. No caso em que $ a=5 $, $ b=4 $ e $ c=3 $, teremos $ (p-a)(p-b)(p-c)=6 $. Se provarmos que $ (p-a)(p-b)(p-c)\geq 6 $, como já sabemos que $ p \geq 6 $, provaremos que $ A \geq 6 $ e assim o valor mínimo desta área será $ 6 $.

Suponha, por absurdo, que $ A<6 $. Vejamos que $ (p-a)(p-b)(p-c) $ não pode ser menor que $ 6 $. Para isto, analisemos cada um casos:

(I) $ (p-a)(p-b)(p-c)=5 $

Neste caso, um dos fatores é igual a $ 5 $ e os outros dois iguais a $ 1 $. Suponha sem perda de generalidade que

$ p-a=5 $

$ p-b=1 $

$ p-c=1 $.

Então $ p=7 $, de onde segue que $ A=\sqrt{35} $. Isto não pode ocorrer.

(II) $ (p-a)(p-b)(p-c)=4 $

Precisamos que $ p(p-a)(p-b)(p-c) $ seja um quadrado perfeito. Como $ (p-a)(p-b)(p-c) $ é quadrado perfeito, $ p $ também deve ser. Mas observe que $ p $ não pode ser tão grande assim. De fato,

$ A<6 \Leftrightarrow 4p<36 \Leftrightarrow p<9 $.

Assim, já que $ p $ é quadrado perfeito, ele só pode ser $ 1 $ ou $ 4 $. Mas $ p $ não pode ser $ 1 $, pois $ a+b+c \geq 3 $ e assim $ p \geq \frac{3}{2} $. Assim $ p=4 $. Porém isto também não pode acontecer, pois esta igualdade equivale a $ a+b+c=8 $ que é um caso que já analisamos. Portanto, este caso não pode acontecer.

(III) $ (p-a)(p-b)(p-c)=3 $

Pelo mesmo raciocínio que fizemos em (I), este caso não é possível.

(IV) $ (p-a)(p-b)(p-c)=2 $

Análogo a (I).

(V) $ (p-a)(p-b)(p-c)=1 $

Análogo a (I).

Desta forma, $ (p-a)(p-b)(p-c)\geq 6 $ e com já vimos, isto prova que o valor mínimo da área será $ 6 $.

Cálculo da Área pela TrigonometriaEditar

Se ABC é um triângulo, $ a=BC $, $ b=CA $, então sua área será igual a

$ \frac{1}{2}ab \operatorname{sen} (\angle C) $

Cálculo da Área de um Triângulo Usando o Raio da Circunferência Inscrita Editar

Sejam $ r $ o raio da circunferência inscrita e $ p $ o semiperímetro (metade o perímetro) de um triângulo. Então a área deste triângulo é $ A=pr $.

Cálculo da Área de um Triângulo Usando o Raio da Circunferência CircunscritaEditar

Uma circunferência circunscrita a um triângulo é aquela que passa pelos seus vértices.

Se os lados de um triângulo medirem $ a $,$ b $ e $ c $ e o raio da circunferência inscrita for $ R $, então a sua área será igual a $ \frac{abc}{4R}. $

Prova: Sabemos que

$ [ABC]=\frac{1}{2}ab \operatorname{sen} C $

Pela Lei dos Senos , $ \operatorname{sen} C=\frac{c}{2R} $. Com isso,

$ [ABC]=\frac{abc}{4R}. $

Exemplo (Cone Sul 1992)Editar

Em um triângulo $ ABC $, considere $ E $ um ponto sob $ BC $ tal que $ AE $ é perpendicular a $ BC $. Prove que $ AE=\frac{bc}{2r} $, onde $ r $ é o raio do círuclo circunscrito, $ b=AC $ e $ c=AB $.

Solução:

Observe que $ AE $ é a altura do triângulo. Queremos relacionar a altura com o raio do círculo circunscrito $ r $. Como podemos fazer isso? Iremos usar as áreas. Podemos calcular a área usando a altura e usando $ r $. Faremos isto duas vezes depois compararemos os resultados (isto é o que chamamos de contagem dupla).

Para calcularmos a área dependendo da altura, se considerarmos a=BC, então ela será igual a

$ \frac{a.AE}{2} $

Já a área em relação a r pode ser calculada da seguinte maneira:

$ \frac{abc}{4r} $

Se compararmos os resultados: $ \frac{a.AE}{2}=\frac{abc}{4r} \Leftrightarrow AE=\frac{bc}{2r}. $

Razão entre áreasEditar

Se dois triângulos possuem alturas iguais, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre suas bases.

Áreas de Quadriláteros Editar

Um trapézio de base maior $ b $, base maior $ B $ e altura $ h $ tem área igual a $ \frac{(B+b)h}{2} $.

Um paralelogramo de base $ b $ e altura $ h $ tem área igual a $ bh $.

Um retângulo de base $ b $ e altura $ h $ tem área igual a $ bh $.

Um losango de diagonais $ D $ e $ d $ tem área igual a $ \frac{Dd}{2} $.

Um quadrado de lado $ l $ tem área igual a $ l^2 $.

Páginas RelacionadasEditar

Trigonometria

BibliografiaEditar

  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer : Geometry Revisited , Random House, New York, 1967