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ExemploEditar

Sejam A, B e C pontos na circunferência. Se D é o ponto médio do arco {\displaystyle {\widehat {AB}}} que contém C e E o ponto médio do arco {\displaystyle {\widehat {AB}}} que não contém C, prove que DE é o diâmetro da circunferência.

Diâmetro e ângulos


Solução:

Basta provarmos que {\displaystyle {\widehat {DE}}}=180^{\circ}. Considere \alpha a medida do arco {\displaystyle {\widehat {AB}}} que contem C. Desta forma, a medida do arco {\displaystyle {\widehat {AB}}} que não contem C será 360^{\circ}-\alpha . Com isso, {\displaystyle {\widehat {DA}}}=\frac{\alpha}{2} e {\displaystyle {\widehat {AE}}}=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}. Portanto,

{\displaystyle {\widehat {DE}}}={\displaystyle {\widehat {DA}}}+{\displaystyle {\widehat {AE}}}=\frac{\alpha}{2}+180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}.

ProposiçãoEditar

Se dois ângulos enxergam o mesmo arco, então eles possuem a mesma medida.

ProposiçãoEditar

Sejam A, B, C e D pontos sob uma circunferência. Então {\displaystyle {\widehat {AB}}}={\displaystyle {\widehat {CD}}} \Leftrightarrow  AB=CD.

ProposiçãoEditar

Sejam A, B, C e D quatro pontos distintos em uma circunferência (nesta ordem, se lidos em sentido horário ou anti-horário). Então AB=CD se, e somente se, AD é paralelo a BC.

Prova: Observe que

AB=CD \Leftrightarrow {\displaystyle {\widehat {AB}}}={\displaystyle {\widehat {CD}}}  \Leftrightarrow \angle ADB = \angle CBD \Leftrightarrow AD \parallel BC.

Exemplo (Cone Sul) Editar

Considere um círculo com centro O, e três pontos sob a circunferência, A, B e C, tais que \angle AOB < \angle BOC. Seja D o ponto médio do arco AC que contém o ponto B. Considere um ponto K sob BC tal que DK é perpendicular a BC. Prove que AB+BK=KC.

Solução:

Ângulos na Circunferência1

Provar que a soma das medidas de dois segmentos é igual à medida de um terceiro é bem mais fácil quando os pontos são colineares. Será que conseguimos "arrastar" as medidas AB, BK e KC para a mesma reta?

Observe que BK e KC estão sobre a mesma reta. Então é mais vantajoso se conseguíssemos uma reta paralela à BC. E já que queremos transferir medidas, que tal uma paralela à BC e com medida igual a AB?

Vamos chamar esta nova reta de EF (onde, por convenção, E está entre A e F quando lermos no sentido anti-horário). Precisamos construí-la de forma que EF seja paralelo a BC e EF=AB (o que é equivalente a dizer que AE é paralelo à BF).

Como podemos construir estes pontos? Veremos a construção depois de pronta e quais propriedades elas apresentam. Depois veremos se estas propriedades são suficientes para satisfazer todas as condições que queremos. Se estas propriedades nos ajudam a desenhar bem e são suficientes, então conseguiremos fazer a construção. Vejamos isto na prática.

Que tal explorarmos os arcos? Com um pouco de exploração podemos ver que F é o ponto médio do arco {\displaystyle {\widehat {AC}}} que não contém B. De fato, precisamos provar que {\displaystyle {\widehat {AF}}}={\displaystyle {\widehat {FC}}}. Existe alguma igualdade de arcos que pode nos ajudar? Sim. Observe que, como EF é paralelo a BC, segue que {\displaystyle {\widehat {FC}}}={\displaystyle {\widehat {EB}}}. Com isso, precisamor provar que {\displaystyle {\widehat {AF}}}={\displaystyle {\widehat {EB}}}. Como

{\displaystyle {\widehat {AF}}}={\displaystyle {\widehat {EA}}}+{\displaystyle {\widehat {FE}}}

e

{\displaystyle {\widehat {EB}}}={\displaystyle {\widehat {EA}}}+{\displaystyle {\widehat {AB}}},

precisamos mostrar que {\displaystyle {\widehat {FE}}}={\displaystyle {\widehat {AB}}}. Mas isto segue do fato de que AE e BF são paralelos. Logo, F é o ponto médio do arco {\displaystyle {\widehat {AC}}} que não contém B. Deste modo, DF é o diâmetro da circunferência. Com isso, já sabemos construir F (basta prolongarmos DO até encontrarmos a circunferência novamente).

E para construirmos E? Queremos que EF seja paralelo a BC. Assim, basta passarmos uma reta paralela a BC passando por F. Chamaremos o outro ponto de intersecção de E.Repare que se construirmos E e F desta maneira, EF será paralelo a BC e terá a mesma medida que AB.

Vamos arrastar a medida de BK para esta reta: estendamos EF de tal forma que E fique entre F e G e GE seja igual a BK. Qual a vantagem de fazermos isto? "Jogamos" as medidas AB e BK para a mesma reta. Então

AB+BK=FE+EG=FG.

Com isso, basta mostrarmos que FG=KC para resolvermos o problema. Uma maneira de fazermos isto é descobrirmos alguma congruência que envolva FG e KC. Vamos aproveitar a nossa construção: fizermos FG e KC serem paralelos: conseguimos ângulos de mesma medida. Mas quais deles pegar? Vamos pegar triângulos em que temos duas vantagens: o paralelismo e o fato deles enxergarem o mesmo arco.

Note que D, K e E são colineares, pois DK e DE são ambas retas perpendiculares a EF e passam por D (logo coincidem).

Observe que os ângulos \angle BFG e \angle ECK enxergam o mesmo lado e assim possuem mesma medida. Será que BFG e ECK são congruentes? Aproveitemos o paralelismo. Como BK=GE e BK e GE são paralelos, segue que BKEG é um paralelogramo e assim BG e KE são paralelos. Desta forma, \angle BGF = \angle CKE = 90^{\circ}. Provemos agora alguma igualdade entre os lados.

Mostraremos que BF=EC. Para isto, basta mostrarmos que {\displaystyle {\widehat {BF}}}={\displaystyle {\widehat {EC}}}. Observe que

{\displaystyle {\widehat {BF}}}={\displaystyle {\widehat {BC}}}+{\displaystyle {\widehat {CF}}}

e

{\displaystyle {\widehat {EC}}}={\displaystyle {\widehat {BC}}}+{\displaystyle {\widehat {EB}}}.

Assim, para mostrarmos que {\displaystyle {\widehat {BF}}}={\displaystyle {\widehat {EC}}}, basta vermos que {\displaystyle {\widehat {CF}}}={\displaystyle {\widehat {EB}}}, o que equivale a dizer que CF=EB. Mas isto é verdade, pois EF e BC são paralelos. Logo, BF=EC.

Portanto os triângulos BFG e ECK são congruentes pelo caso LAA_O, de onde segue que FG=KC.

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