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Ao escrevermos o número $ 245 $, aqui $ 2,4 $ e $ 5 $ são chamados de algarismos (ou dígitos). Um algarismo é um número inteiro de $ 0 $ a $ 9 $, ou seja, os algarismos existentes são $ 0,1,2,3,4,5,6,7,8 $ e $ 9 $.

Representação Editar

Podemos representar um número de dois algarismos $ a $ e $ b $ pode ser representado por $ \overline{ab} $. Neste caso, $ \overline{ab}=10a+b $.

Em geral, $ \overline{a_ka_{k-1}\dots a_1a_0} $ pode ser escrito como

$ 10^0a_0+10^1a_1+10^2a_2+\dots+10^ka_k. $

Ao escrevermos os algarismos, desta forma:

  • $ a_0 $ é chamado de algarismo das unidades;
  • $ a_1 $ é chamado de algarismo das dezenas.

Observação Editar

Um número natural $ x $ possui $ k $ algarismos se, e somente se, $ 10^{k-1} \leq x \leq 10^k-1 $.

Exemplo (Cone Sul 1995)Editar

Escrevem-se os dígitos de $ 1995 $ como segue:

$ 19951199955111999999555\dots $

(a) Calcular quantos dígitos devem-se escrever para que a soma dos dígitos escritos seja $ 2880 $

(b) Determinar o dígito que aparece no lugar $ 1995 $.

Solução:

(a) Vamos dividir em blocos.

1º Bloco: $ 1995 $

2º Bloco: $ 11999955 $

3º Bloco: $ 111999999555. $

No $ k $-ésimo bloco, aparecerão $ k $ algarismos $ 1 $, $ 2k $ algarismos $ 9 $ e $ k $ algarismos $ 5 $. Logo, a soma dos algarismos deste bloco é $ k+9.2k+5k=24k $.

Com isso a soma dos algarismos do $ k $ primeiros blocos é:

$ 24.1+24.2+\dots+24.k=24(1+2+\dots+k)=\frac{24k(k+1)}{2}=12k(k+1). $

Já que queremos calcular quantos dígitos devem-se escrever para que a soma dos dígitos escritos seja $ 2880 $, façamos

$ 12k(k+1)=2880, $

de onde segue que $ k=15 $. Observe que no $ k $-ésimo bloco existem $ 4k $ algarismos. Logo, nos $ 15 $ primeiros blocos existirão

$ 4.1+4.2+\dots+4.15=4.\frac{15.16}{2}=480. $

(b) Vejamos os fins dos blocos. O $ k $-ésimo bloco acaba após $ 4\frac{k(k+1)}{2} $ algarismos. O maior inteiro menor ou igual a $ 1995 $ que pode ser escrito desta forma é $ 1984 $ que ocorre quando $ k=31 $.

Com isso, o $ 1984^{\circ} $ dígito é $ 5 $ e depois teremos $ 32 $ algarismos $ 1 $. Logo, o $ 1995^{\circ} $ algarismos é $ 1 $.

Exemplo (Cone Sul 2005) Editar

Diremos que um número de $ 20 $ dígitos é especial se é impossível representá-lo como produto de um número de $ 10 $ dígitos por um número de $ 11 $ dígitos. Determine qual é a máxima quantidade possível de números consecutivos que são especiais.

Solução: Basta mostrarmos que para certo número $ x $, é impossível ter uma lista com $ x+1 $ especiais consecutivos, mas dá para ter uma lista com $ x $ especiais consecutivos.

Comecemos mostrando que é impossível ter $ 10^9 $ especiais consecutivos. De fato, suponha que seja possível. Então, entre estes números, haverá algum divisível por $ 10^9 $, ou seja, que pode ser escrito na forma $ a.10^9 $, onde $ a $ é um número inteiro.

Mas este número não pode ser especial, pois para $ a.10^9 $ ter $ 20 $ algarismos, $ a $ precisa ter $ 11 $ dígitos.

Desta forma, só pode haver no máximo $ 10^9-1 $ números especiais consecutivos. Conseguimos mostrar alguma lista com esta quantidade de especiais consecutivos? Sim: provemos que a lista

$ 10^{19}+1,10^{19}+2,\cdots,10^{19}+10^9-1 $

é formada apenas por termos especiais. Com efeito, suponha que algum termos da $ 10^{19}+a $ da lista (com $ a=1,2,\dots,10^9-1 $) não seja especial. Então existem $ x,y \geq 0 $ inteiros tais que

$ 10^{19}+a=(10^9+x)(10^{10}+y).(*) $

Se $ x>0 $, então

$ 10^{19}+a=(10^9+x)(10^{10}+y)>(10^9+1)10^{10}=10^{19}+10^{10} \Leftrightarrow a>10^{10}. $

Isto é um contradição. Logo, $ x=0 $. Analogamente $ y=0 $. Desta forma, $ (*) $ se reescreve como

$ 10^{19}+a=10^{19} \Leftrightarrow a=0. $

Contradição. Logo, $ 10^{19}+a $ é um número especial. Portanto, a lista tem todos os números especiais e consecutivos, de onde seque a quantidade máxima de números satisfazendo essa propriedade é $ 10^9-1 $.

Observação Editar

Um fato simples que pode te ajudar em alguns problemas é que se $ m $ possui $ n $ algarismos, então a soma dos algarismos de $ m $ é menor ou igual a $ 9n $.

Observação Editar

Seja $ n $ um número natural. O algarismo mais a esquerda de $ n $ é $ k $ se, e somente se, existe $ m $ inteiro não negativo tal que $ k.10^m \leq n < (k+1).10^m $. Se esta desigualdade for válida, então $ n $ terá $ m+1 $ algarismos.

Exemplo (Cone Sul 1998) Editar

Prove que, pelo menos para $ 30% $ dos naturais $ n $ entre $ 1 $ e $ 1.000.000 $, o primeiro dígito de $ 2^n $ é $ 1 $.

Solução: Vamos analisar potências "pequenas" de $ 2 $ que começam com $ 1 $: $ 1,16,128,1024,16384,\dots $. Parece que para cada inteiro positivo $ k $ existe uma potência de $ 2 $ com $ k $ dígitos que começa com $ 1 $.

Será que isso realmente acontece? Vejamos que sim. Como podemos provar isto? Parece que uma potência de $ 2 $ com $ k $ dígitos que começa com $ 1 $ é a menor potência de $ 2 $ que é maior que $ 10^{k-1} $. Mostremos então que a menor potência de $ 2 $ maior que $ 10^{k-1} $ possui $ 1 $ como sendo o primeiro algarismo da sua esquerda.

Para isto, basta provarmos que para todo $ k $ existe algum $ n $ inteiro não negativo, vale que

$ 10^{k-1} \leq 2^n < 2.10^{k-1}. $

Tomemos $ n $ tal que

$ 2^{n-1} < 10^{k-1} \leq 2^n. $

Desta forma,

$ 10^{k-1} \leq 2^n < 2.10^{k-1}. $

A segunda parte da desigualdade anterior é válida, pois $ 2^{n-1}<10^{k-1} $. Se soubermos a quantidade de algarismos de $ 2^n $ para $ n=1.000.000 $, saberemos a quantidade de potências de $ 2 $ para $ n $ entre $ 1 $ e $ 1.000.000 $ é maior do que esse número.

Vamos procurar uma quantidade (não necessariamente exata) de algarismos que $ 2^{10^6} $ possui. Para isso, vamos comparar $ 2^{10^6} $ com alguma potência de $ 10 $. Comecemos com uma potência simples. Observe que

$ 2^{10}>10^3. $

Se elevarmos ambos os lados a $ 10^5 $

$ 2^{10^6}>10^{3.10^5}. $

Logo, $ 2^{10^6} $ possui mais do que $ 3.10^5 $ algarismos. Com isso, a quantidade de potências de $ 2 $ que começam com $ 1 $ (nas condições do enunciado) é maior do que $ 3.10^5 $. Desta maneira, a porcentagem dessas potências é maior do que

$ \frac{3.10^5}{10^6}=0,3=30%. $