A teoria de aproximações diofantinas estuda, entre outros assuntos, o quanto é possível aproximar um irracional por um racional.

Teorema de Dirichlet[]

Seja α um irracional. Então existem p, q inteiros com q positivo e p / q irredutível tais que

$\left|\alpha - {p\over q}\right| \leq {1\over q^2}$

Por outro lado...[]

Por outro lado, podemos provar limitantes inferiores. Por exemplo, para todos a e b inteiros positivos,

|a - b\sqrt 2| > {1\over a + 2b}

De fato, como a² − 2b² não pode ser zero,

{\displaystyle |a^2 - 2b^2| \geq 1\iff |a - b\sqrt 2|\cdot (a + b\sqrt 2) \geq 1 \iff |a - b\sqrt 2| \geq {1\over a + b\sqrt 2} > {1\over a + 2b} }

(IMO 1991, Problema 6)