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A teoria de aproximações diofantinas estuda, entre outros assuntos, o quanto é possível aproximar um irracional por um racional.

Teorema de Dirichlet Editar

Seja α um irracional. Então existem pq inteiros com q positivo e p / q irredutível tais que

\left|\alpha - {p\over q}\right| \leq {1\over q^2}

Por outro lado... Editar

Por outro lado, podemos provar limitantes inferiores. Por exemplo, para todos a e b inteiros positivos,
|a - b\sqrt 2| > {1\over a + 2b}
De fato, como a2 − 2b2 não pode ser zero,
|a^2 - 2b^2| \geq 1\iff |a - b\sqrt 2|\cdot (a + b\sqrt 2) \geq 1 \iff |a - b\sqrt 2| \geq {1\over a + b\sqrt 2} > {1\over a + 2b}

Aplicação Editar

(IMO 1991, Problema 6)

NOTA Editar

Recuperado de Olimpédia - Backup

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