Paridade

Os números pares são aqueles múltiplos de $2$, isto é,

$\cdots -6,-4,-2,0,2,4,6,\cdots$

Já os números ímpares são os inteiros que não são pares, ou seja,

$\cdots -7,-5,-3,-1,1,3,5,7,\cdots$

Um número tem paridade par se ele for par. Caso contrário, dizemos que ele tem paridade ímpar.

Exemplo (OBM 2009 - 3ª Fase - Nível 2)

Uma formiga caminha no plano da seguinte maneira: inicialmente, ela anda $1 cm$

em qualquer direção. Após, em cada passo, ela muda a direção da trajetória em $60^{\circ}$ para a esquerda ou direita e anda $1 cm$ nessa direção. É possível que ela retorne ao ponto de onde partiu em

(a) $2008$ passos?

(b) $2009$ passos?

Solução:

Por causa destes três ângulos de $120^{\circ}$ e pelo fato desta ser a medida dos ângulos internos de um hexágono regular, podemos montar um diagrama com os possíveis lugares onde a formiga pode chegar. Basta montarmos hexágonos regulares com lados de $1 cm$, conforme a figura a seguir:

(a) Este caso é possível. Vamos mostrar uma maneira da formiga fazer isto.

Basta que a formiga dê $333$ voltas no hexágono ($333.6=1998$ passos). Faltam $10$. Basta que ela faça conforme representado nos dois hexágonos "grudados" da figura acima.

(b) Pinte as posições do diagrama de branco e preto, alternadamente. Se uma formiga está em uma bolinha branca, após um passo, ela irá parar em uma bolinha preta (e vice-versa). Suponha, sem perda de generalidade, que a formiga comece em uma bolinha preta.

Após um número par de passos, ela estará em uma bolinha preta, enquanto após um número ímpar de passos, ela estará em uma bolinha branca. Ou seja, depois de $2009$ passos ela estará em uma bolinha branca e, portanto, não poderá voltar para a posição original.

Exemplo (Cone Sul 1991)

Sabe-se que o número de soluções reais do seguinte sistema é finito. Prove que este sistema tem uma quantidade par de soluções.

$(y^2+6)(x-1)=y(x^2+1)$

$(x^2+6)(y-1)=x(y^2+1).$

Solução:

Observe que se $(x,y)=(a,b)$ é uma solução, então $(x,y)=(b,a)$ também é. Desta forma, se $a \ne b$, então as soluções $(a,b)$ e $(b,a)$ vêm aos pares.

E as soluções em que $x = y$? Neste caso,

$(x^2+6)(x-1)=x(x^2+1) \Leftrightarrow x^2-5x+6=0$

De onde segue que as soluções nestas condições são $(x,y)=(2,2)$ e $(3,3)$. Portanto, existe uma quantidade par de soluções.

Paridade e Operações

Sobre a soma e paridade dos números:

• A soma de dois números pares resulta em um número par.
• A soma de dois números ímpares resulta em um número par.
• A soma de um par com um ímpar resulta em um ímpar.

As afirmações acima podem ser resumidas em qualquer uma das seguintes frases:

• A soma de dois inteiros é par se, e somente se, eles possuem a mesma paridade.

• A soma de dois números é ímpar se, e somente se, eles possuem paridades diferentes.

O que dissemos anterior continua verdade se trocarmos a palavra "soma" pela "diferença".

Já se quisermos nos referir ao produto e a paridade dos números:

• O produto de dois número pares é um número par.
• O produto de dois números ímpares é um número ímpar.
• O produto de um número par por um número ímpar é um número par.

As afirmações anteriores podem ser resumidas em qualquer uma das seguintes frases:

• O produto de dois números é par se, e somente se, pelo menos um dos fatores é par.

• O produto de dois números é ímpar se, e somente se, nenhum dos fatores é par.

Exemplo

Se $x$ é inteiro, prove que $x(x+1)$ é par.

Solução: Vamos analisar cada caso.

1º Caso: $x$ é par

Neste caso, como o produto de um número par com qualquer outro inteiro também é par, segue que $x(x+1)$ é par.

2º Caso: $x$ é ímpar

Aqui $x + 1$ é par e por isso $x(x+1)$ também é.

Exemplo

Prove que para quaisquer $x$ e $y$ inteiros, $x + y$ e $x-y$ possuem a mesma paridade.

Solução: Se $x$ e $y$ possuem a mesma paridade, então $x + y$ e $x-y$ são pares. Caso contrário, ambos são ímpares.

Exemplo (OBMEP 2011 - 2ª Fase - Nível 1)

Para obter o resumo de um número de até 9 algarismos, deve-se escrever quantos são seus algarismos, depois quantos são seus algarismos ímpares e finalmente quantos são seus algarismos pares. Por exemplo, o número 9103405 tem 7 algarismos, sendo 4 ímpares e 3 pares, logo seu resumo é 743.

a) Encontre um número cujo resumo seja 523.

Solução: De acordo com a definição de resumo, devemos encontrar um número com 5 algarismos, 2 deles ímpares e 3 deles pares. O número $10001$ cabe nessa descrição (assim como muitos outros, mas só precisamos apresentar um).

b) Encontre um número que seja igual ao seu próprio resumo.

Solução: Resumos de números só têm 3 algarismos, portanto o algarismo das centenas do nosso número deve ser 3. Os dois outros números devem somar 3, porque se somarmos a quantidade de algarismos pares e ímpares, teremos a quantidade de algarismos, e nenhum dos dois pode ser zero, porque 3 é ímpar e 0 é par, portanto há pelo menos um algarismo ímpar e um algarismo par (portanto nenhuma das casas pode conter um zero).

Dessa forma, os dois outros algarismos devem ser 1 e 2, mas em qual ordem? Dentre 1, 2 e 3, há dois ímpares e um par, portanto o número que queremos é $321$.

c) Para qualquer número de até 9 algarismos, podemos calcular o resumo do resumo de seu resumo. Mostre que esse procedimento leva sempre a um mesmo resultado, qualquer que seja o número inicial.

Solução: Se usarmos o $321$ do item anterior, podemos ver que o resumo do resumo do seu resumo é, novamente, $321$. Diante disso, queremos provar que o resumo do resumo do resumo de qualquer número é $321$. Vamos chamar nosso número inicial de $N$, com $\ I\$ algarismos ímpares e $P$ algarismos pares. O resumo de $N$ é:

$\overline{(P+I)IP}$

Agora vamos olhar para o resumo do resumo de $N$. O resumo de $N$ tem três algarismos, portanto o algarismo da centena do resumo do resumo de $N$ é 3. E a quantidade de pares e ímpares? Vamos analisar a paridade de $P+I$ com base na paridade de $\ I\$ e $P$:

	$\ I\$ é par	$\ I\$ é ímpar
$P$ é par	$P+I$ é par	$P+I$ é ímpar
$P$ é ímpar	$P+I$ é ímpar	$P+I$ é par

Diante disso, vemos que há duas possibilidades para o resumo de um número:

• Há 3 algarismos pares
• Há 1 algarismo par e 2 algarismos ímpares

Dessa forma, os possíveis valores do resumo do resumo de um número são $303$ e $321$, ambos números cujo resumo é $321$. Portanto, o resumo do resumo do resumo de um número é sempre $321$.

Exemplo (Cone Sul 1991)

Um jogo é composto por $9$ moedas (pretas e brancas) arranjadas na seguinte posição (ver figura $1$). Se você escolher $1$ moeda na borda do quadrado, esta moeda e suas vizinhas mudam de cor. Se você escolher a moeda do centro, ela não muda de cor, mas as outras $8$ mudam. Aqui está um exemplo com $9$ moedas brancas, e as mudanças de suas cores, escolhido a moeda dita: (ver figura $2$). É possível, começando com $9$ moedas brancas, ter $9$ moedas pretas?

Solução:

Vamos focar na paridade de alguma das quantidades. Queremos provar que é impossível termos $9$ moedas pretas. Para isto, é suficiente mostrarmos que a quantidade de moedas pretas é sempre par. Como podemos fazer isto? Observe que inicialmente temos uma quantidade par de moedas pretas (afinal temos $0$ delas). Se provarmos que a paridade de moedas pretas não se altera com as escolhas, então nosso problema estará resolvido.

Segundo o enunciado, se você escolher $1$ moeda na borda do quadrado, esta moeda e suas vizinhas mudam de cor. Neste caso, mudará de cor uma quantidade par de moedas. Desta forma, a paridade da quantidade de moedas brancas que mudaram será a mesma que a paridade da de moedas ímpares. Com isso, após a troca, a paridade da quantidade de moedas brancas e pretas permanece a mesma.

O mesmo acontece quando a moeda escolhida estiver no centro. Portanto, a quantidade de moedas pretas é sempre par, de onde segue que nunca pode ser igual a $9$.

Outros Fatos Sobre Paridade

Para $x$ e $n$ inteiros:

• Se $x^n$ é par, então $x$ é par.
• Se $x^n$ é ímpar, então $x$ é ímpar.

Exemplo

Divisões nem sempre nos dão números inteiros. Vamos supor nos próximos itens que as divisões são exatas.

(a) $\frac{\text{Par}}{\text{Par}}$ é par ou ímpar?

(b) $\frac{\text{Par}}{\text{Ímpar}}$ é par ou ímpar?

(c) $\frac{\text{Ímpar}}{\text{Par}}$ é par ou ímpar?

(d) $\frac{\text{Ímpar}}{\text{Ímpar}}$ é par ou ímpar?

Solução:

(a) Observe que $\frac{4}{2}=2$ e $\frac{6}{2}=3$. Desta forma, $\frac{\text{Par}}{\text{Par}}$ pode ser tanto par quanto ímpar.

(b) Par. De fato, considere $x$ par e $y$ ímpar (com $\frac{x}{y}$ inteiro). Suponha, por absurdo, que $\frac{x}{y}$ seja ímpar. Então $x=y \cdot \frac{x}{y}$ é ímpar, pois é o produto de dois ímpar. Contradição. Logo $\frac{x}{y}$ é par.

(c) Não é possível dividir um número ímpar por um par e resultar em um número inteiro. De fato, suponha, por absurdo que $\frac{x}{y}$ seja inteiro. Então $x=y \cdot \frac{x}{y}$ é par, pois é o produto de um par por um inteiro. Contradição.

(d) Ímpar. De fato, considere $x$ e $y$ ímpares, com $\frac{x}{y}$ inteiro. Suponha, por absurdo, que $\frac{x}{y}$ seja par. Então $x=y \cdot \frac{x}{y}$ é par, pois é o produto de um par por um ímpar. Contradição. Logo $\frac{x}{y}$ é ímpar.

Paridade de uma Soma Com Mais Parcelas

Se em um soma de números inteiros, a quantidade de números ímpares que a aparecer for par, então o resultado da soma será par. Caso contrário, a soma será ímpar.

Representação Algébrica de Pares e Ímpares

O inteiro $x$ é par se, e somente se, existe $k$ inteiro tal que $x=2k$. Além disso, ele é ímpar se, e somente se, existe $k$ inteiro tal que $x=2k+1$.

Exemplo (OBM 2012 - 3ª Fase - Nível 3)

Determine se existem inteiros $n,a_1,a_2,\cdots,a_{2012}$, todos maiores ou iguais a $2$, tais que

$n^2=a_1^2+a_2^3+a_3^5+\cdots+a_i^{p_i}+\cdots+a_{2012}^{p_{2012}}$,

em que $p_i$ é o $i$-ésimo primo (ou seja, $p_1=1,p_2=3,p_3=5,\cdots$).

Solução: Queremos fazer o lado direito da igualdade ser um quadrado perfeito. Qual quadrado perfeito conhecemos em que aparece somar? Vários. Um deles que parece fácil de se mexer é $k^2+2k+1$. O bom dele é que aparece $2k+1$ que é a forma geral de um número ímpar. E também aparece $k^2$ que é um quadrado perfeito.

Por isso, podemos forçar um pedaço da igualdade a simplesmente ser ímpar e o outro a ser quadrado perfeito. O lado bom disso é que $a_1^2$ já é um quadrado perfeito. Por isso, resta forçarmos $a_2^3+a_3^5+\cdots+a_{2012}^{p_{2012}}$ a ser ímpar. Uma maneira é tomarmos $a_2$ um ímpar qualquer maior do que $1$ (afinal, o enunciado pede que todos os números sejam maiores ou iguais a $2012$) e $a_3,a_4,\cdots,a_{2012}$ pares quaisquer maiores do que $1$.

Com isso, $a_2^3+a_3^5+\cdots+a_{2012}^{p_{2012}}$ será ímpar e assim existirá $k$ natural maior do que $2$ tal que $a_2^3+a_3^5+\cdots+a_{2012}^{p_{2012}}=2k+1$. Para finalizarmos, basta tomarmos $a_2=k$ e o lado direito da igualdade será $k^2+2k+1=(k+1)^2$. Com isso, $n=k+1$.

Lugares Para Estudar

• A aula do POTI do nível 1: Aula 05 - Paridade.
• Problemas Resolvidos: Paridade (POTI - Nível 1)
• Paridade (POTI - Nível 2)
• Problemas Resolvidos: Paridade (POTI - Nível 2)
• Problemas Resolvidos: Paridade II (POTI - Nível 2)
• A aula do POTI - Nível 2: Problemas Resolvidos - Paridade
• O artigo da Revista Eureka 2: Paridade (Eduardo Wagner).
• O artigo da Revista Eureka 31: Par ou Ímpar? Eis a Questão (Einstien do Nascimento Jr e Samuel Barbosa Feitosa).
• A aula da Semana Olímpica de 2016: Paridade, Jogos e Invariantes (Samuel Feitosa)
• A aula da Semana Olímpica de 2018: Paridade (Luize D'Urso)
• A aula da Semana Olímpica de 2019: Paridade e Tabuleiros (Bruno Holanda)

Vídeos

• Paridade (POTI - Nível 2)
• Paridade (POTI - Nível 2)
• Paridade I (POTI 2017)
• Paridade II (POTI 2017)