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Sejam $ ABC $ um triângulo, $ M $ e $ N $ pontos médios dos lados $ AB $ e $ AC $, respectivamente. Então o segmento $ MN $ é chamado de base média do triângulo $ ABC $.

ProposiçãoEditar

Na definição acima, $ MN $ é paralelo à $ BC $ e $ MN=\frac{BC}{2} $.

ProposiçãoEditar

Sejam $ ABC $ um triângulo, $ M $ e $ N $ pontos pertencentes a $ AB $ e $ AC $, respectivamente. Se $ M $ é o ponto médio de $ AB $ e $ MN $ é paralelo a $ BC $, então $ MN $ é base média do triângulo $ ABC $.

Exemplo (OBM 1998 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

No triângulo $ ABC $, $ D $ é o ponto médio de $ AB $ e $ E $ o ponto médio do lado $ BC $ tal que $ BE=2.EC $. Dado que os ângulos $ \angle ADC $ e $ \angle BAE $ são iguais, encontre o ângulo $ \angle BAC $.

Solução: Já que temos $ D $ ponto médio do lado $ AB $ e $ BE=2.EC $, se tomarmos $ P $ o ponto médio de $ BE $, teremos $ DP $ base média do triângulo $ ABE $ (forçamos ela aparecer) e com isso, $ DP $ é paralelo à $ AE $.

Base média

Conseguimos encontrar outra base média na figura. De fato, considere $ O $ o ponto de encontro entre $ AE $ e $ DC $. Como $ OE $ é paralelo a $ DP $ e $ E $ é o ponto médio de $ CP $, segue que $ OE $ é base média do triângulo $ CPD $. Desta maneira, $ O $ é ponto médio de $ CD $, ou seja, $ DO=OC $.

Mas olha só: existe outra coisa que podemos dizer sobre $ DO $. Como $ \angle ADC=\angle BAE $, segue que o triângulo $ ADO $ é isósceles de base $ AD $, isto é, $ DO=AO $. Assim, $ AOC $ é um triângulo isósceles de base $ AC $. Já que apareceram dois triângulos isósceles, podemos concluir algo sobre os ângulos.

Consideremos $ \alpha = \angle OAD = \angle ADO $. Conseguimos calcular os ângulos de $ AOC $ em função de $ \alpha $? Pelo Teorema do Ângulo Externo, $ \angle AOC=2\alpha $. Desta forma, $ \angle OAC=90^{\circ}-\alpha $.

Portanto, $ \angle BAC=\angle OAC+\angle OAD = 90^{\circ} $.

Exemplo (OBM 2011 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Seja $ ABCD $ um quadrilátero convexo tal que $ AD=DC $, $ AC=AB $ e $ \angle ADC=\angle CAB $. Se $ M $ e $ N $ são os pontos médios dos lados $ AD $ e $ AB $, prove que o triângulo $ MNC $ é isósceles.

OBM2011q2n2

Solução: Vamos encontrar uma congruência que envolva $ CM $ e $ MN $. Para isto, precisamos encontrar mais igualdades envolvendo os segmentos da figura. Combinemos as igualdades do enunciado com os fatos de $ M $ e $ N $ serem os pontos médios de $ AD $ e $ AB $. Para termos ainda mais igualdades, consideremos $ P $ o ponto médio de $ CD $. Por que isso? Ganhamos uma base média.

Como $ PM $ é base média do triângulo $ ADC $, $ AC=AB $ e $ N $ é o ponto médio de $ AB $, segue que

$ PM=\frac{AC}{2}=\frac{AB}{2}=AN $.

Além disso, $ P $ e $ M $ são pontos médios de $ CD $ e $ AD $, respectivamente, e $ AD=DC $, de onde segue que

$ CP=\frac{DC}{2}=\frac{AD}{2}=AM. $

Podemos começar a suspeitar que $ CMP $ e $ MNA $ são congruentes. Se mostrarmos que $ \angle NAM=\angle MPC $, então a congruência realmente é válida. Para nos ajudar usaremos a igualdade de ângulos que o enunciado nos deu: considere $ \alpha=\angle ACD=\angle CAB $. Calculemos $ \angle NAM $ e $ \angle MPC $ em função de $ \alpha $.

Sabemos que $ \angle NAM= \angle CAB+ \angle DAC $. Já sabemos que $ \angle CAB=\alpha $, vamos encontrar $ \angle DAC $ em função de $ \alpha $. Como $ ADC $ é isósceles de base $ AC $, segue que $ \angle DAC=\angle ACD=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2} $. Então $ \angle NAM=\angle CAB+\angle DAC= \alpha + 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2} $.

Analogamente, $ \angle NAM=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2} $. Desta forma $ CMP $ e $ MNA $ são congruentes pelo caso $ LAL $, de onde segue que $ CM=MN $ e assim $ MNC $ é isósceles.

Base Média de Trapézios Editar

Seja $ ABCD $ um trapézio de bases $ AB $ e $ CD $, respectivamente. Se $ M $ e $ N $ forem os pontos médios dos lados $ AD $ e $ BC $, então $ MN $ é a base média do trapézio.

A base média de um trapézio é paralela às bases. Além disso,

$ MN=\frac{AB+CD}{2}. $

Observação Editar

Se um segmento que une dois lados não paralelos de um trapézio passa pelo ponto médio de um dos lados e é paralelo à base, então ele é a base média.

Triângulo Medial Editar

É o triângulo formado se unirmos as bases médias dos três lados.

BibliografiaEditar

  • BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. 11ª. ed. [S.l.]: SBM, 2012. 257 p.