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Para e inteiros não negativos e , o coeficiente binomial é definido por

.

Propriedades dos Coeficientes Binomiais

(i) Para , ;

(ii) ;

(iii) ;

(iv) Para e ,

;

(v) .

Binômio de Newton

Se é um natural qualquer e e são números complexos, então

.

Esta também pode ser chamada de Fórmula Binomial ou Fórmula Binomial de Newton.

Exemplo (IMO 1974)

Prove que o número

não é divisível por , para todo inteiro .

Solução: Já que queremos provar que este número não é divisível por , vamos olhar para o módulo . Observe que

pois . Com isso, para terminarmos é suficiente provarmos que não é congruente a módulo . Para nos ajudar com as notações, vamos definir

Precisamos reescrever esta expressão para podermos usar melhor o módulo . Observe que ela lembra o Binômio de Newton. Mas não completamente: o expoente de não é igual ao número de baixo do coeficiente binomial. Para isto, é interessante forçarmos aparecer. Note que . Assim,

E para fazermos aparecer ? Basta multiplicarmos ambos os lados da igualdade por :

O lado esquerdo da igualdade não é uma expressão que aparece no Binômio de Newton. Mas não está tão longe assim: a única diferença é que ela só possui termos ímpares. Não tem problema, vamos expandir o termo  e fazer aparecer :

Vamos separar os termos pares e os ímpares:

Se definirmos

segue que

Ok, conseguimos escrever em uma expressão mais simples. Mas aqui temos um problema: queremos mexer com módulo e temos números complexos. Como podemos contornar isso? Dado um número complexo , se multiplicarmos pelo seu conjugado , teremos e os imaginários somem. É isso que devemos fazer. Se aplicarmos o conjugado em ambos os lados e observarmos que e são reais:

Ao multiplicarmos (I) por (II):

Agora sim, podemos olhar módulo . Suponha, por absurdo, que . Então

Mas, para todo inteiro, . Absurdo. Logo, não pode ser um múltiplo de .

Referências Bibliográficas

[1] E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.

[2] D. Djukic, V. Jankovic, I. Matic, N. Petrovic : The IMO Compendium 1959-2009, Springer, 2011.

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