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É o centro da circunferência circunscrita a um triângulo. Ele é geralmente denotado pela letra O.

ProposiçãoEditar

O circuncentro de um triângulo é o encontro das suas três mediatrizes.

Proposição Editar

O circuncentro de um triângulo é equidistante dos seus vértices.

Proposição Editar

Se O é o circuncentro do triângulo ABC, então

\angle BOC=2 \angle BAC .

Onde Está o Circuncentro? Editar

O circuncentro de um triângulo obtusângulo está localizado fora dele.

Já se o triângulo for retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. Neste caso, a hipotenusa será um diâmetro.

Exemplo (OBM 2004 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Seja D o ponto médio da hipotenusa AB de um triângulo retângulo ABC. Sejam O_1 e O_2 os circuncentros dos triângulos ADC e DBC, respectivamente.

OBM2004q5n2

(a) Mostre que \angle O_1DO_2 é reto.

(b) Mostre que AB é tangente ao círculo de diâmetro O_1O_2.

Solução:

(a) Vamos descobrir mais algumas informações sobre D, O_1 e O_2. Observe que existe algo em comum entre D e O_1: ambos são equidistantes de A e C, de onde segue que ambos pertence a mediatriz de AC e assim O_1D é perpendicular a AC. Pelo mesmo raciocínio, O_2D é perpendicular a BC.

Consideremos M_1 e M_2 os pontos médios de AC e BC, respectivamente. Note que \angle DM_1C=\angle DM_2C=90^{\circ}. Como a soma dos ângulos internos do quadrilátero M_1DM_2C é 360^{\circ}, segue que \angle O_1DO_2=\angle M_1DM_2=90^{\circ}.

(b) Seja G o ponto médio de O_1O_2. Como este é o diâmetro, segue que G é o centro da circunferência. Se mostrarmos que D pertence a circunferência de diâmetro O_1O_2 e que GD é perpendicular a AB, provaremos que 
AB é tangente à circunferência.

Como, pelo item (a), \angle O_1DO_2=90^{\circ}, segue que D pertence a circunferência de diâmetro O_1O_2.

Sejam E e F os pontos médios de AD e BD, respectivamente. Como a mediatriz de AD passa por O_1, segue que O_1E é perpendicular a AB. Analogamente O_2F é perpendicular a AB.

Queremos provar que GD é perpendicular a AB. Para isto, basta provarmos que GD é paralelo a O_1E e O_2F. Usaremos a recíproca do Teorema de Tales. Como D e G são pontos médios de EF e O_1O_2, segue que

\frac{ED}{DF}=\frac{O_1G}{GO_2}=1.

Desta forma, GD é paralelo a O_1E.

Exemplo (OBM 2010 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Seja ABCD um paralelogramo e \Gamma a circunferência circunscrita ao triângulo ABD. Se E e F são as interseções de \Gamma com as retas BC e CD respectivamente, prove que o circuncentro do triângulo CEF está sobre \Gamma.

OBM2010q2n2

Solução: Seja O o circuncentro do triângulo CEF. Provaremos que AEOF é inscritível, afinal E e F também pertencem a \Gamma e isso faz com que o problema termine. Para isto, mostraremos que

\angle FAE+\angle EOF=180^{\circ}.

Vamos começar aproveitando o fato de que ângulos opostos de um paralelogramo são iguais. Definamos \alpha=\angle BAD. Então \angle BCD=\alpha.

Calculemos \angle FAE e \angle EOF em função de \alpha. Comecemos com \angle FAE. Para isto, encontraremos a medida do arco \widehat{EF}. Podemos relacioná-lo com ângulos conhecidos? Sim.

Observe que \angle BCD é exterior excêntrico que "enxerga" o arco \widehat{EF}. Desta forma,

\angle BCD=\frac{\widehat{BD}-\widehat{EF}}{2}.

Sabemos que \angle BCD=\alpha e \widehat{BD}=360^{\circ}-2\alpha. Desta forma,

\alpha=\frac{360^{\circ}-2\alpha-\widehat{EF}}{2} \Leftrightarrow \widehat{EF}=360^{\circ}-4\alpha \Leftrightarrow \angle FAE=180^{\circ}-2\alpha.

Além disso, como O é o circuncentro do triângulo CEF.

\angle FOE=2 \angle FCE=2\alpha.

Logo,

\angle FAE+\angle EOF=180^{\circ},

de onde segue que AEOF é inscritível e O pertence a \Gamma.

Exemplo (OBM 2007 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

OBM2007q1n2

Seja ABC um triângulo e O seu circuncentro. Seja ainda P a intersecção das retas BO e AC e S a circunferência circunscrita a AOP. Suponha que BO=AP e que a medida do arco OP em S que não contém A é 40^{\circ}. Determine a medida do ângulo \angle OBC.

Solução: Como o circuncentro é equidistante dos vértice e
OBM2007q1n22
BO=AP, segue que AO=CO=BO=AP e isso nos dá alguns triângulos isósceles: o que nos ajuda a encontrar ângulos.

Ok, mas a gente precisa ter algum ângulo para começar a marcar, certo? Ora: a gente já sabe que a medida do arco OP em S que não contém A é 40^{\circ}. Então \angle OAP é inscrito na circunferência S e assim ele mede 20^{\circ}.

Observe que o triângulo AOP é isósceles, de onde segue que \angle AOP=\angle APO=80^{\circ}. Além disso, AOC é isósceles, de onde podemos concluir que \angle OCP=\angle OAP=20^{\circ}. Assim, \angle POC=60^{\circ}, de onde segue que \angle BOC=120^{\circ}.

Finalmente, como OBC é isósceles, segue que \angle OBC=30^{\circ}.

Exemplo (OBM 2009 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Seja A um dos pontos de interseção de dois círculos com centros X e Y. As tangentes aos círculos em A intersectam novamente os círculos em B e C. Seja P o ponto de plano tal que PXAY é um paralelogramo. Prove que P é o circuncentro do triângulo ABC.

Solução:

OBM2009q2n2
Como o circuncentro é o ponto de intersecção das mediatrizes, basta provarmos que P pertence as mediatrizes de AB e AC. Vamos pensar em uma estratégia antes de sair fazendo contas. Observe que X pertence a mediatriz de AB, pois XA=XB, já que X é o centro do círculo. Assim, precisamos mostrar que PX passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a ele.

Para isto, usaremos o fato de que ABX é isósceles. Se mostrarmos que PX é bissetriz do ângulo \angle BXA, ela passará terá justamente as propriedades que queremos e isso resolverá o problema. Vamos às contas.

Comecemos com \angle PXA. A nossa vantagem é que ele pertence ao paralelogramo PAXY. Qual a vantagem disso? É que se soubermos a medida de um dos ângulos de um paralelogramo, sabemos a medida de todos os outros. Existe alguma coisa que podemos falar dos outros ângulos?

Observe que, como AB é tangente à circunferência de centro Y, segue que \angle BAY=90^{\circ}. Isto é quase um ângulo do paralelogramo. Para nos ajudar, façamos, então \alpha=\angle XAB. Logo, \angle XAY=90^{\circ}+\alpha. Como ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares, segue que \angle PAX=180^{\circ}-(90^{\circ}+\alpha)=90^{\circ}-\alpha.

Além disso, como ABX é isósceles, segue que \angle AXB=180^{\circ}-2\alpha. Desta forma, PX é bissetriz de \angle BXA e conforme a gente já viu, PX é mediatriz de AB.

Analogamente, PY é mediatriz de AC. Portanto, P é o circuncentro do triângulo ABC.

Exemplo (OBM 2009 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Seja ABC um triângulo e O seu circuncentro. As retas AB e AC cortam o circuncírculo de OBC novamente em B_1 \neq B e C_1 \neq C, respectivamente, as retas BA e BC cortam o circuncírculo de OAC em A_2 \neq A e C_2  \neq C, respectivamente, e as retas CA e CB cortam o circuncírculo de OAB em A_3 \neq A e B_3 \neq B, respectivamente. Prove que as retas A_2A_3, B_1B_3 e C_1C_2 passam por um mesmo ponto.
OBM2009q6n2

Solução: Ao invés de explorarmos A_2, A_3, B_1, B_3, C_1 e C_2 todos de uma vez, vamos procurar propriedades de cada um separadamente. Comecemos com C_1. Quais informações podemos dar sobre ele? Como esse pertence ao circuncírculo de OBC, segue que se O_1 for o seu centro, então

O_1B=O_1C=O_1C_1.

O que mais podemos dizer sobre C_1? Observe que \angle OCC_1=\angle OBC_1, pois eles "enxergam" o mesmo arco. Mas podemos dizer algo também sobre \angle OCC_1. Como OA=OC (já que o circuncentro é equidistante dos vértices), segue que \angle OCC_1=\angle OAC. Além disso, OA=OB implica que \angle BAO=\angle ABO. Desta forma, se combinarmos estas três últimas igualdades sobre ângulos, teremos \angle C_1AB=\angle C_1BA, de onde segue que C_1A=C_1B. Com isso, C_1 pertence a mediatriz de AB.

E o que falar sobre A_2, A_3, B_1, B_3 e C_2? De maneira análoga, C_2 também pertence a mediatriz de AB, enquanto A_2 e A_3 pertencem a mediatriz de BC e B_1 e B_3 pertencem a mediatriz de CA.

Desta forma, A_2A_3, B_1B_3 e C_1C_2são as mediatrizes de BC, CA e AB, respectivamente. Como estas últimas se encontram no circuncentro, as primeiras fazem o mesmo.