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Seja $ O $ um ponto e $ r $ um número real positivo. Então a circunferência é o conjunto de todos os pontos $ P $ tais que $ OP=r $. Neste caso, $ O $ é o centro e $ r $ o raio do círculo. Por isto, podemos considerar circunferência de centro $ O $ e raio $ r $ . Existem alguns lugares que consideram este como sendo o círculo de centro $ O $ e raio $ r $

Assim, os pontos de uma circunferência de centro $ O $ são equidistantes a este ponto.

Se $ OP $ é menor que $ r $, então $ P $ está dentro do círculo. Caso $ OP $ for maior do que $ r $, o ponto $ P $ estará fora.

O conjunto de todos os pontos que estão dentro do círculo é chamado de disco de centro $ O $ e raio $ r $.

Sejam dois pontos $ A $ e $ B $ sobre uma circunferência. Se o segmento $ AB $ passa pelo centro, então ele é chamado de diâmetro. Neste caso, o centro é o ponto médio de $ AB $.

Se $ r $ é a medida do raio de uma circunferência, então o diâmetro mede $ 2r $.

A distância entre dois pontos quaisquer no interior de um círculo é no máximo igual a $ 2r $.

Uma circunferência pode ser representada por alguma letra, por exemplo, a letra grega gama maiúscula $ \Gamma $.

Um segmento que une dois pontos pertencentes a uma circunferência é chamado de corda.

Um arco que corresponde a metade de um círculo é chamado de semicircunferência.

Semicircunferência

Proposição Editar

Sejam $ A $, $ B $ e $ C $ pontos na circunferência de centro $ O $ tais que $ AB=AC $. Então $ AO $ é perpendicular a $ BC $.

ProposiçãoEditar

Seja $ AB $ uma corda que não passa pela circunferência que não passa pelo centro. Um diâmetro é perpendicular $ AB $ se, e somente se, passa pelo seu ponto médio.

Proposição Editar

Uma boa maneira de encontrarmos o centro de uma circunferência é usarmos o seguinte:

"A mediatriz de uma corda sempre passa pelo centro da circunferência".

Retas Tangentes e Secantes Editar

Uma reta $ r $ é tangente a uma circunferência quando possui somente um ponto em comum com ela. Este ponto é chamado de ponto de tangência (ou ponto de contato).

Se ela possuir dois pontos em comum, dizemos que ela é secante.

Proposição Editar

Seja $ O $ o centro de uma circunferência e $ r $ uma reta tangente à ela passando por $ P $. Então $ OP $ é perpendicular a $ r $.

Como Provar Que uma Reta é Tangente à uma Circunferência?Editar

Seja $ P $ um ponto sobre uma circunferência de centro $ O $. Se $ r $ for uma reta que passa por $ P $ tal que $ OP $ é perpendicular a $ r $, então $ r $ é tangente à circunferência.

Proposição Editar

Seja $ P $ um ponto no exterior de um círculo e $ A $ e $ B $ pertencentes a uma circunferência tais que $ PA $ e $ PB $ são tangentes a ela. Então $ PA=PB $.

Duas retas tangentes em P

Circunferências Tangentes Editar

Duas circunferências são tangentes externas se elas possuem apenas um ponto em comum e cada uma delas está no exterior da outra.

Além disso, duas circunferências são tangentes internas se elas possuem apenas um ponto em comum e uma delas está no interior da outra.

Em ambos os casos, duas circunferências serão tangentes se, e somente se, elas possuírem uma reta tangente em comum. O ponto em comum entre duas retas tangentes é chamado de ponto de tangência (ou ponto de contato).

Proposição Editar

Se duas circunferências são tangentes externas, então a distância entre os seus centros é igual à soma das medidas de seus raios.

Circunferência InscritaEditar

Uma circunferência inscrita a um polígono é aquela que é tangente a todos os seus lados. Neste caso, dizemos que o polígono é circunscrito à circunferência. O centro da circunferência inscrita é chamado de incentro . O raio desta circunferência é chamado de inraio.

Todo triângulo possui um círculo inscrito.

Seja $ ABC $ um triângulo com $ BC=a $, $ CA=b $ e $ AB=c $ de semiperímetro $ p $ e considere uma circunferência inscrita a ele, cujos pontos de tangência aos lados $ AB,BC $ e $ CA $ são, respectivamente, $ X,Y $ e $ Z $. Então

$ AX=AZ=p-a $

$ BX=BY=p-b $

$ CY=CZ=p-c. $

Circunferência CircunscritaEditar

Uma circunferência circunscrita a um polígono (ou circuncírculo) é aquela que passa pelos seus vértices. Neste caso, o polígono está inscrito na circunferência. O centro da circunferência circunscrita é chamado de circuncentro . O raio da circunferência circunscrita é chamado de circunraio e é geralmente denotado pela letra $ R $.

Todo triângulo está inscrito em um círculo.

Páginas Relacionadas Editar

BibliografiaEditar

  • BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. 11ª. ed. [S.l.]: SBM, 2012. 257 p.