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Seja $ O $ um ponto e $ r $ um número real positivo. Então a circunferência é o conjunto de todos os pontos $ P $ tais que $ OP=r $. Neste caso, $ O $ é o centro e $ r $ o raio do círculo. Por isto, podemos considerar circunferência de centro $ O $ e raio $ r $ . Existem alguns lugares que consideram este como sendo o círculo de centro $ O $ e raio $ r $.

Uma circunferência pode ser representada por alguma letra, por exemplo, a letra grega gama maiúscula $ \Gamma $.

Assim, os pontos de uma circunferência de centro $ O $ são equidistantes a este ponto.

Se $ OP $ é menor que $ r $, então $ P $ está dentro do círculo. Caso $ OP $ for maior do que $ r $, o ponto $ P $ estará fora.

O conjunto de todos os pontos que estão dentro do círculo é chamado de disco de centro $ O $ e raio $ r $.

Sejam dois pontos $ A $ e $ B $ sobre uma circunferência. Se o segmento $ AB $ passa pelo centro, então ele é chamado de diâmetro. Neste caso, o centro é o ponto médio de $ AB $.

Se $ r $ é a medida do raio de uma circunferência, então o diâmetro mede $ 2r $.

A distância entre dois pontos quaisquer no interior de um círculo é no máximo igual a $ 2r $.

Em qualquer circunferência, a divisão entre o tamanho da circunferência e o diâmetro é sempre resulta sempre no mesmo número. Este é chamado de $ \pi $, que é a letra minúscula grega pi (pois perímetro em grego começa com a letra grega π).

Um segmento que une dois pontos pertencentes a uma circunferência é chamado de corda.

Um arco que corresponde a metade de um círculo é chamado de semicircunferência.

Semicircunferência
Dizemos que quatro ou mais pontos são concíclicos se existe uma circunferência que passa por eles.

Uma circunferência que passa pelos pontos $ X,Y $ e $ Z $ é denotada por $ \odot(XYZ) $.

Proposição Editar

Sejam $ A $, $ B $ e $ C $ pontos na circunferência de centro $ O $ tais que $ AB=AC $. Então $ AO $ é perpendicular a $ BC $.

ProposiçãoEditar

Seja $ AB $ uma corda que não passa pela circunferência que não passa pelo centro. Um diâmetro é perpendicular $ AB $ se, e somente se, passa pelo seu ponto médio.

Proposição Editar

Uma boa maneira de encontrarmos o centro de uma circunferência é usarmos o seguinte:

"A mediatriz de uma corda sempre passa pelo centro da circunferência".

Retas Tangentes e Secantes Editar

Uma reta $ r $ é tangente a uma circunferência quando possui somente um ponto em comum com ela. Este ponto é chamado de ponto de tangência (ou ponto de contato).

Se ela possuir dois pontos em comum, dizemos que ela é secante.

Proposição Editar

Seja $ O $ o centro de uma circunferência e $ r $ uma reta tangente à ela passando por $ P $. Então $ OP $ é perpendicular a $ r $.

Como Provar Que uma Reta é Tangente à uma Circunferência?Editar

Seja $ P $ um ponto sobre uma circunferência de centro $ O $. Se $ r $ for uma reta que passa por $ P $ tal que $ OP $ é perpendicular a $ r $, então $ r $ é tangente à circunferência.

Proposição Editar

Seja $ P $ um ponto no exterior de um círculo e $ A $ e $ B $ pertencentes a uma circunferência tais que $ PA $ e $ PB $ são tangentes a ela. Então $ PA=PB $.

Duas retas tangentes em P

Circunferências Tangentes e Secantes Editar

Duas circunferências são tangentes exteriores se elas possuem apenas um ponto em comum e cada uma delas está no exterior da outra.

Se duas circunferências são tangentes exteriores em um ponto $ P $, então existe uma reta passando por este ponto que é tangente às duas circunferências.

Além disso, duas circunferências são tangentes interiores se elas possuem apenas um ponto em comum e uma delas está no interior da outra.

Em ambos os casos, duas circunferências serão tangentes se, e somente se, elas possuírem uma reta tangente em comum. O ponto em comum entre duas retas tangentes é chamado de ponto de tangência (ou ponto de contato).

Duas circunferências são secantes se possuem dois pontos em comum.

Proposição Editar

Se duas circunferências são tangentes externas, então a distância entre os seus centros é igual à soma das medidas de seus raios.

Circunferência InscritaEditar

Uma circunferência inscrita a um polígono é aquela que é tangente a todos os seus lados. Neste caso, dizemos que o polígono é circunscrito à circunferência. O centro da circunferência inscrita é chamado de incentro . O raio desta circunferência é chamado de inraio.

Todo triângulo possui um círculo inscrito.

Seja $ ABC $ um triângulo com $ BC=a $, $ CA=b $ e $ AB=c $ de semiperímetro $ p $ e considere uma circunferência inscrita a ele, cujos pontos de tangência aos lados $ AB,BC $ e $ CA $ são, respectivamente, $ X,Y $ e $ Z $. Então

$ AX=AZ=p-a $

$ BX=BY=p-b $

$ CY=CZ=p-c. $

Circunferência CircunscritaEditar

Uma circunferência circunscrita a um polígono (ou circuncírculo) é aquela que passa pelos seus vértices. Neste caso, o polígono está inscrito na circunferência. O centro da circunferência circunscrita é chamado de circuncentro . O raio da circunferência circunscrita é chamado de circunraio e é geralmente denotado pela letra $ R $.

Todo triângulo está inscrito em um círculo.

Exemplo (Cone Sul 2007) Editar

Seja $ ABCDE $ um pentágono convexo que satisfaz as seguintes condições:

  • Existe uma circunferência $ \Gamma $ tangente a cada um de seus lados.
  • As medidas de todos os seus lados são números inteiros.
  • Ao menos um dos lados do pentágono mede $ 1 $.
  • O lado $ AB $ mede $ 2 $.

Seja $ P $ o ponto de tangência de $ \Gamma $ com o lado $ AB $

(a) Determinar as medidas dos segmentos $ AP $ e $ BP $.

(b) Dar um exemplo de um pentágono que satisfaz as condições estabelecidas.

Solução:

(a) Sejam $ Q,R,S $ e $ T $ pontos de tangência de $ \Gamma $ em $ BC,CD,DE $ e $ EA $, respectivamente.

ConeSul2007q5-0

A estratégia a seguir será chamar a medida de $ AP $ de $ x $ e relacionar as medidas dos outros segmentos com $ x $. Como $ AB=2 $, segue que $ PB=2-x $ e assim $ BQ=2-x $.

Se usarmos o mesmo raciocínio,

$ CR=QC=BC-BQ=BC-(2-x)=BC-2+x $

$ DS=DR=CD-CR=CD-(BC-2+x)=CD-BC+2-x $

$ ET=ES=DE-DS=DE-(CD-BC+2-x)=DE-CD+BC-2+x. $

Como $ AT=x $, segue que

$ AE=AT+ET \Leftrightarrow AE=x+DE-CD+BC-2+x \Leftrightarrow 2x=AE-DE+CD-BC+2. $

Mas $ AE-DE+CD-BC+2 $ é um número inteiro (pois os lados do pentágono são números inteiros) e assim $ 2x $ também será. Porém $ x $ não pode ser tão grande assim. Com efeito, $ AP<AB $ e assim $ x<2 $, ou seja, $ 2x<4 $.

Assim, $ 2x=3 $, $ 2x=2 $ ou $ 2x=1 $. Vejamos quais dessas a gente pode construir e quais não podemos. Veremos no item (b) construções para $ 2x=3 $ e $ 2x=1 $.

Provaremos aqui que é impossível fazer um construção para $ 2x=2 $, ou seja, $ x=1 $. Para isto, veremos quais informações conseguimos a partir daqui e se alguma delas contradiz o enunciado.

Observe que $ AT=x=1 $. Mas $ AE>AT=1 $ e $ AE $ é um número inteiro. Desta forma, $ AE \geq 2 $. Além disso, $ ET=AE-1 $ de onde segue que $ ET $ é número inteiro e assim $ ET \geq 1 $ (o que vale para $ SE $, pois $ SE=TE $).

Assim, $ DE>SE \geq 1 $, de onde segue que $ DE \geq 2 $ (pois $ DE $ é inteiro). Como $ DE $ e $ SE $ são inteiros e $ DS=DE-SE $, segue que $ DS $ também é inteiro e com isso ele é maior ou igual a $ 1 $ (o mesmo vale para $ DR $ pois $ DR=DS $).

Daí $ RC $ é inteiro, pois $ RC=DC-DR $ e com isso $ RC \geq 1 $, de onde segue que $ DC \geq 2 $. Analogamente, $ CB \geq 2 $.

Isso entra em contradição com o enunciado que diz que os pentágonos devem ter pelo menos um lado com medida igual a $ 1 $. Logo, $ 2x=1 $ ou $ 2x=3 $, isto é, $ AP=\frac{1}{2} $ e $ BP=\frac{3}{2} $ ou $ AP=\frac{3}{2} $ e $ BP=\frac{1}{2} $.

(b) Um exemplo para o caso $ 2x=3 $ (basta prolongarmos dois lados opostos de um hexágono):

ConeSul2007q51

Quanto ao caso $ 2x=1 $, basta fazermos de forma análoga:

ConeSul2007q52

Páginas RelacionadasEditar

BibliografiaEditar

  • BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. 11ª. ed. [S.l.]: SBM, 2012. 257 p.