FANDOM


Sejam A, B e C pontos distintos. Dizemos que eles são colineares se existe uma reta que passa por eles. Como podemos provar que três pontos são colineares? Existem várias estratégias.

1ª Estratégia: Provar que os pontos não formam um triânguloEditar

Se \angle ABC = 0, então A, B e C são colineares.

Exemplo (Cone Sul)Editar

Dado um quadrado ABCD com lado 1 e um quadrado dentro de ABCD com lado x, determine (em termos de x) o raio r do círculo tangente aos dois lados de ABCD e que toca no quadrado de lado x.

Colinearidade 2

Solução:

Vamos nomear os vértices conforme a figura a seguir.

Colinearidade

Seria muito legal se a diagonal AC passasse pelo centro O do círculo e também pela diagonal AF. De fato, daí podemos concluir que

AC=AF+FO+OB.

Vejamos que isto realmente ocorre.

Comecemos mostrando que O pertence a AC, ou seja, O, A e C são colineares. Para isto, provaremos que eles não formam um triângulo. Observe que

\angle ACO = \angle OCB - \angle ACB

ou

\angle ACO = \angle ACB - \angle OCB

Sabemos que \angle ACB = 45^{\circ}. Se provarmos que \angle OCB=45^{\circ}, então \angle AOC=0^{\circ}, de onde podemos concluir que A, C e O são colineares. Isto pode ser concluído do fato que OPC e OQC são congruentes.

Da mesma forma, podemos provar que AF está contida na diagonal AC. Como podemos usar a igualdade AC=AF+FO+OB a nosso favor? Basta calcularmos AC, AF, FO e OB separadamente e depois substituirmos nela.

Note que AC=\sqrt{2}, AF = x\sqrt{2} e FO=r. Resta determinarmos o valor de OC. Para isto, basta notarmos que OPCQ é um quadrado de lado r, de onde segue que OC=r\sqrt{2}.

Desta maneira,

\sqrt{2}=x\sqrt{2}+r+r\sqrt{2} \Leftrightarrow r=\frac{\sqrt{2}(1-x)}{\sqrt{2}+1}=(2-\sqrt{2})(1-x).

2ª Estratégia: Provar que retas coincidemEditar

Se as retas AB e AC coincidem, então A, B e C são colineares.

ExemploEditar

Sejam ABC um triângulo, D e E pontos sobre AB e AC, respectivamente, com DE paralelo a BC.. Além disso, considere F e G sobre DE e BC, respectivamente, tais que AF e AG são perpendiculares a DE e BC, respectivamente. Prove que A, F e G são colineares.

Solução:

Colinearidade2

Basta mostrarmos que AF e AG coincidem. Observe que estas retas são perpendiculares a BC e passam por A. Porém, dado uma reta e um ponto fora dela, existe somente uma perpendicular passando por ela. Logo, AF e AG coincidem.

3ª Estratégia: Provar que a Desigualdade Triangular não valeEditar

Se provarmos que a desigualdade triangular não é válida, então os pontos não podem formam um triângulo. Desta forma, eles são colineares.

ExemploEditar

Sejam C_1 e C_2 duas circunferências de centros O_1 e O_2, respectivamente. Se elas forem tangentes em um ponto T, mostre que O_1, T e O_2 são colineares.

Solução:

Suponha que O_1, T e O_2 não sejam colineares. Então eles formam um triângulo. Sejam P_1 e P_2 os pontos de intersecção da reta O_1O_2 com as circunferências C_1 e C_2, respectivamente. Com isso, se r_1 e r_2 forem os raios das circunferências C_1 e C_2, respectivamente, então O_1T=r_1 e O_2T=r_2.

Desta maneira,

O_1O_2=O_1P_1+P_1P_2+P_2O_2=r_1+P_1P_2+r_2>r_1+r_2=O_1T+O_2T.

Mas isto contradiz a desigualdade triangular. Logo, O_1, O_2 e T não formam um triângulo e por isso são colineares.

4ª Estratégia: Provar que eles formam ângulos OPVEditar

Sejam r uma reta qualquer, A e B pontos fora dela (cada um em um semiplano diferente), C, D e E pontos sobre ela (C entre D e E). Se \angle ACE= \angle BCD, então A, B e C são colineares.

Exemplo (OBM 2000 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Dobradura

Em uma folha de papel a reta r passa pelo canto A da folha e forma um ângulo \alpha com a borda horizontal, como na figura 1. Para dividir este ângulo \alpha em três partes iguais, executaremos as seguintes construções:

a) inicialmente, marcamos dois pontos B e C sobre a borda vertical de modo que AB=BC; pelo ponto B traçamos a reta s paralela à borda (figura 2);

b) a seguir, dobramos o papel, ajustando-o de modo que o ponto C coincida com um ponto C' sobre a reta r e o ponto A coincida com um ponto A' sobre a reta s (figura 3); chamamos de B' o ponto com o qual B coincide.

Mostre que as retas AA' e AB' dividem o ângulo \alpha em três partes iguais.

Solução:

Dobradura2

Você pode estar pensando: "poxa, essas dobras só vão atrapalhar minha vida". Não elas não vão. Pelo contrário, elas vão te ajudar lhe dando várias informações legais sobre o problema. Para nos ajudar vamos nomear alguns pontos da figura. Considere t a reta sobre a qual é feita a dobra e P o ponto de encontro desta reta com o "lado de baixo" do retângulo (conforme mostra a figura). Tome ainda X o ponto de intersecção de t com s e K a intersecção entre A'B' e AP.

Considere \theta=\angle PAA'. Provaremos que \angle A'AB' e \angle B'AC' também são iguais a \theta. Vamos calcular outros ângulos em função de \theta. Como BA' e AP são paralelas, segue que \angle AA'X=\theta. E a dobra? Ainda não usamos ela. Observe que A coincide com A'. Assim, AX=XA', de onde segue que \angle A'AX=\angle AA'X=\theta.

Resta provarmos que \angle B'AC'=\theta. Para as contas ficarem mais fáceis, seria interessante se A, X e B' são colineares. Para isto, faremos o seguinte: provaremos que \angle BXA=\angle B'XA'. Para isto, calcularemos ambos em função de \theta.

Observe que, como BA' e AP são paralelos,

\angle BXA=\angle XAP=\angle XAA'+\angle A'AP=\theta+\theta=2\theta.

Para encontrarmos \angle B'XA', vamos encontrar ângulos próximos a ele. Para nos ajudar, usaremos novamente a dobra a nosso favor: afinal, ela preserva ângulos. Por causa disso, podemos concluir que \angle PA'B'=\angle PAB=90^{\circ}.

Além disso, observe que se encontrarmos \angle BA'B', podemos determinar \angle B'XA'. Note que

\angle PA'B=2\theta \Rightarrow \angle BA'B'=90^{\circ}-2\theta \Rightarrow \angle B'XA'=2\theta.

Desta maneira, A, X e B são colineares. Isto vai ser útil para terminarmos o problema: provaremos que \angle B'AC'=\theta. Para isto, mostraremos que AB' é bissetriz do ângulo \angle A'AC'.

Sabemos que AB' é altura do triângulo A'AC'. Se provarmos que AB' também é mediana, ele também será uma bissetriz. Repare que a dobra preserva medida. Como AB=BC, segue que A'B'=B'C'.

Portanto, AB' é uma bissetriz do triângulo A'AC' e com isso, \angle B'AC'=\theta.

Interferência de bloqueador de anúncios detectada!


A Wikia é um site grátis que ganha dinheiro com publicidade. Nós temos uma experiência modificada para leitores usando bloqueadores de anúncios

A Wikia não é acessível se você fez outras modificações. Remova o bloqueador de anúncios personalizado para que a página carregue como esperado.