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Sejam $ A $, $ B $ e $ C $ pontos distintos. Dizemos que eles são colineares se existe uma reta que passa por eles. Como podemos provar que três pontos são colineares? Existem várias estratégias.

1ª Estratégia: Provar que os pontos não formam um triânguloEditar

Se $ \angle ABC = 0 $, então $ A $, $ B $ e $ C $ são colineares.

Exemplo (Cone Sul 1991)Editar

Dado um quadrado $ ABCD $ com lado $ 1 $ e um quadrado dentro de $ ABCD $ com lado $ x $, determine (em termos de $ x $) o raio $ r $ do círculo tangente aos dois lados de $ ABCD $ e que toca no quadrado de lado $ x $.

Colinearidade 2

Solução: Vamos nomear os vértices conforme a figura a seguir.

Colinearidade

Seria muito legal se a diagonal $ AC $ passasse pelo centro $ O $ do círculo e também pela diagonal $ AF $. De fato, daí podemos concluir que

$ AC=AF+FO+OB. $

Vejamos que isto realmente ocorre.

Comecemos mostrando que $ O $ pertence a $ AC $, ou seja, $ O $, $ A $ e $ C $ são colineares. Para isto, provaremos que eles não formam um triângulo. Observe que

$ \angle ACO = \angle OCB - \angle ACB $

ou

$ \angle ACO = \angle ACB - \angle OCB $

Sabemos que $ \angle ACB = 45^{\circ} $. Se provarmos que $ \angle OCB=45^{\circ} $, então $ \angle AOC=0^{\circ} $, de onde podemos concluir que A, C e O são colineares. Isto pode ser concluído do fato que $ OPC $ e $ OQC $ são congruentes.

Da mesma forma, podemos provar que $ AF $ está contida na diagonal $ AC $. Como podemos usar a igualdade $ AC=AF+FO+OB $ a nosso favor? Basta calcularmos $ AC $, $ AF $, $ FO $ e $ OB $ separadamente e depois substituirmos nela.

Note que $ AC=\sqrt{2} $, $ AF = x\sqrt{2} $ e $ FO=r $. Resta determinarmos o valor de $ OC $. Para isto, basta notarmos que $ OPCQ $ é um quadrado de lado $ r $, de onde segue que $ OC=r\sqrt{2} $.

Desta maneira,

$ \sqrt{2}=x\sqrt{2}+r+r\sqrt{2} \Leftrightarrow r=\frac{\sqrt{2}(1-x)}{\sqrt{2}+1}=(2-\sqrt{2})(1-x). $

2ª Estratégia: Provar que retas coincidemEditar

Se as retas $ AB $ e $ AC $ coincidem, então $ A $, $ B $ e $ C $ são colineares.

Como provar que retas coincidem? Você pode se aproveitar dos seguintes fatos:

  • Dado um ponto e uma reta qualquer, existe uma única reta que passa por aquele ponto e é perpendicular à primeira reta.
  • Dado um ponto e uma reta qualquer, existe uma única reta que passa por aquele ponto e é paralela à primeira reta.

Por exemplo, pegar duas retas e mostrar que ambas passam por certo ponto e ambas são perpendiculares (ou paralelas) à determinada reta, então elas coincidem.

ExemploEditar

Sejam $ ABC $ um triângulo, $ D $ e $ E $ pontos sobre $ AB $ e $ AC $, respectivamente, com $ DE $ paralelo a $ BC $.. Além disso, considere $ F $ e $ G $ sobre $ DE $ e $ BC $, respectivamente, tais que $ AF $ e $ AG $ são perpendiculares a $ DE $ e $ BC $, respectivamente. Prove que $ A $, $ F $ e $ G $ são colineares.

Colinearidade2

Solução: Basta mostrarmos que $ AF $ e $ AG $ coincidem. Observe que estas retas são perpendiculares a $ BC $ e passam por $ A $. Porém, dado uma reta e um ponto fora dela, existe somente uma perpendicular passando por ela. Logo, $ AF $ e $ AG $ coincidem.

Exemplo (Cone Sul 1997) Editar

Seja $ C $ uma circunferência de centro $ O $, $ AB $ um diâmetro dela e $ R $ um ponto qualquer em $ C $ distinto de $ A $ e de $ B $. Seja $ P $ a interseção da perpendicular traçada por $ O $ a $ AR $. Sobre a reta $ OP $ se marca o ponto $ Q $, de maneira que $ QP $ é a metade de $ PO $ e $ Q $ não pertence ao segmento $ OP $. Por $ Q $ traçamos a paralela a $ AB $ que corta a reta $ AR $ em $ T $.

Chamamos de $ H $ o ponto de interseção das retas $ AQ $ e $ OT $.

Provar que $ H $, $ R $ e $ B $ são colineares.

Solução: Provaremos que as retas $ HR $ e $ BR $ coincidem. Observe que $ \angle APO = \angle ARB =90^{\circ} $, de onde segue que $ OP $ e $ BR $ são paralelos. Sabemos que existe somente uma reta paralela a $ OP $ que passa por $ R $. Se mostrarmos que $ HR $ é paralelo a $ OP $, podemos concluir que $ HR $ e $ BR $ coincidem.

Uma das maneiras de mostrarmos um paralelismo é procurarmos alguma semelhança. Se mostrarmos que os triângulos $ AHR $ e $ AQP $ são semelhantes, podemos concluir que $ HR $ e $ QP $ são paralelos, de onde segue que $ HR $ é paralelo a $ OP $.

Vamos relacionar algumas dessas medidas desses triângulos para ver se conseguirmos alguma informação. Como $ QT $ e $ AB $ são paralelos, segue que os triângulos $ QHT $ e $ AHO $ são semelhantes e com isso,

$ \frac{AH}{QH}=\frac{AO}{QT}.(*) $

Conseguimos ainda alguma outra relação entre esses lados? Como $ QT $ e $ AB $ são paralelos, segue que $ \angle TQP = \angle POA $. Além disso, $ \angle QPT = \angle APO = 90^{\circ} $. Desta maneira, $ QPT $ e $ OPA $ são semelhantes pelo caso $ AA $. O interessante dessa semelhança é que ela também envolve $ AO $ e $ QT $. De fato,

$ \frac{AO}{QT}=\frac{OP}{PQ}. $

Como $ QP $ é a metade de $ PO $, segue que

$ \frac{AO}{QT}=2. $

Se substituirmos em $ (*) $:

$ \frac{AH}{QH}=2 \Leftrightarrow AH=2QH \Leftrightarrow AQ+QH = 2QH \Leftrightarrow AQ = HQ. $

Com isso, $ Q $ é ponto médio de $ AH $. Se mostrarmos que $ P $ é ponto médio de $ AR $, provaremos que os triângulos $ AHR $ e $ AQR $ são semelhantes. Mais ainda, como $ OP $ e $ HR $ serão colineares, poderemos concluir que $ H,R $ e $ B $ são colineares.

Mas como o triângulo $ OAR $ é isósceles e $ OP $ é perpendicular a $ AR $, segue que $ P $ é ponto médio de $ AR $ e assim $ OP $ e $ HR $ são paralelos.

3ª Estratégia: Provar que a Desigualdade Triangular não valeEditar

Se provarmos que a desigualdade triangular não é válida, então os pontos não podem formar um triângulo. Desta forma, eles são colineares.

ExemploEditar

Sejam $ C_1 $ e $ C_2 $ duas circunferências de centros $ O_1 $ e $ O_2 $, respectivamente. Se elas forem tangentes em um ponto $ T $, mostre que $ O_1 $, $ T $ e $ O_2 $ são colineares.

Solução: Suponha que $ O_1 $, $ T $ e $ O_2 $ não sejam colineares. Então eles formam um triângulo. Sejam $ P_1 $ e $ P_2 $ os pontos de intersecção da reta $ O_1O_2 $ com as circunferências $ C_1 $ e $ C_2 $, respectivamente. Com isso, se $ r_1 $ e $ r_2 $ forem os raios das circunferências $ C_1 $ e $ C_2 $, respectivamente, então $ O_1T=r_1 $ e $ O_2T=r_2 $.

Desta maneira,

$ O_1O_2=O_1P_1+P_1P_2+P_2O_2=r_1+P_1P_2+r_2>r_1+r_2=O_1T+O_2T. $

Mas isto contradiz a desigualdade triangular. Logo, $ O_1 $, $ O_2 $ e $ T $ não formam um triângulo e por isso são colineares.

4ª Estratégia: Provar que eles formam ângulos OPVEditar

Sejam $ r $ uma reta qualquer, $ A $ e $ B $ pontos fora dela (cada um em um semiplano diferente), $ C $, $ D $ e $ E $ pontos sobre ela ($ C $ entre $ D $ e $ E $). Se $ \angle ACE= \angle BCD $, então $ A $, $ B $ e $ C $ são colineares.

Exemplo (OBM 2000 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Dobradura

Em uma folha de papel a reta $ r $ passa pelo canto $ A $ da folha e forma um ângulo $ \alpha $ com a borda horizontal, como na figura $ 1 $. Para dividir este ângulo $ \alpha $ em três partes iguais, executaremos as seguintes construções:

a) inicialmente, marcamos dois pontos $ B $ e $ C $ sobre a borda vertical de modo que $ AB=BC $; pelo ponto $ B $ traçamos a reta $ s $ paralela à borda (figura $ 2 $);

b) a seguir, dobramos o papel, ajustando-o de modo que o ponto $ C $ coincida com um ponto $ C' $ sobre a reta $ r $ e o ponto $ A $ coincida com um ponto $ A' $ sobre a reta $ s $ (figura $ 3 $); chamamos de $ B' $ o ponto com o qual $ B $ coincide.

Mostre que as retas $ AA' $ e $ AB' $ dividem o ângulo $ \alpha $ em três partes iguais.
Dobradura2

Solução: Você pode estar pensando: "poxa, essas dobras só vão atrapalhar minha vida". Não elas não vão. Pelo contrário, elas vão te ajudar lhe dando várias informações legais sobre o problema. Para nos ajudar vamos nomear alguns pontos da figura. Considere $ t $ a reta sobre a qual é feita a dobra e $ P $ o ponto de encontro desta reta com o "lado de baixo" do retângulo (conforme mostra a figura). Tome ainda $ X $ o ponto de intersecção de $ t $ com $ s $ e $ K $ a intersecção entre $ A'B' $ e $ AP $.

Considere $ \theta=\angle PAA' $. Provaremos que $ \angle A'AB' $ e $ \angle B'AC' $ também são iguais a $ \theta $. Vamos calcular outros ângulos em função de $ \theta $. Como $ BA' $ e $ AP $ são paralelas, segue que $ \angle AA'X=\theta $. E a dobra? Ainda não usamos ela. Observe que $ A $ coincide com $ A' $. Assim, $ AX=XA' $, de onde segue que $ \angle A'AX=\angle AA'X=\theta $.

Resta provarmos que $ \angle B'AC'=\theta $. Para as contas ficarem mais fáceis, seria interessante se $ A $, $ X $ e $ B' $ são colineares. Para isto, faremos o seguinte: provaremos que $ \angle BXA=\angle B'XA' $. Para isto, calcularemos ambos em função de $ \theta $.

Observe que, como $ BA' $ e $ AP $ são paralelos,

$ \angle BXA=\angle XAP=\angle XAA'+\angle A'AP=\theta+\theta=2\theta. $

Para encontrarmos $ \angle B'XA' $, vamos encontrar ângulos próximos a ele. Para nos ajudar, usaremos novamente a dobra a nosso favor: afinal, ela preserva ângulos. Por causa disso, podemos concluir que $ \angle PA'B'=\angle PAB=90^{\circ} $.

Além disso, observe que se encontrarmos $ \angle BA'B' $, podemos determinar $ \angle B'XA' $. Note que

$ \angle PA'B=2\theta \Rightarrow \angle BA'B'=90^{\circ}-2\theta \Rightarrow \angle B'XA'=2\theta $.

Desta maneira, $ A $, $ X $ e $ B $ são colineares. Isto vai ser útil para terminarmos o problema: provaremos que $ \angle B'AC'=\theta $. Para isto, mostraremos que $ AB' $ é bissetriz do ângulo $ \angle A'AC' $.

Sabemos que $ AB' $ é altura do triângulo $ A'AC' $. Se provarmos que $ AB' $ também é mediana, ele também será uma bissetriz. Repare que a dobra preserva medida. Como AB=BC, segue que $ A'B'=B'C' $.

Portanto, $ AB' $ é uma bissetriz do triângulo $ A'AC' $ e com isso, $ \angle B'AC'=\theta $.