Conjuntos não possuem uma definição formal. Mas intuitivamente, podemos pensar em conjuntos como uma lista de coisas.
Por exemplo, o conjunto das vogais será . Os membros deste conjunto, isto é, e são chamados de elementos. Os elementos são escritos entre chaves.
Se for um elemento de um conjunto , diremos que pertence a e denotaremos isto por . Caso contrário, não pertence a e escreveremos isto assim .
Se um conjunto não tiver elementos, ele será chamado de conjunto vazio e representado por ou .
Se um conjunto possui apenas um elemento, ele é chamado de conjunto unitário.
Não confunda conjuntos com teoria dos conjuntos. Esta teoria existe, mas é uma coisa completamente diferente do que está escrito nesta página.
Representações de Conjuntos
Podemos representar um conjunto escrevendo todos os seus elementos, como por exemplo, o conjunto das vogais do alfabeto: .
Mas também podemos descrever como são os elementos do conjunto: .
Observação
Não escreva . O correto é somente .
Igualdade Entre Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos.
Se quisermos mostrar que dois conjuntos e são iguais, basta mostrarmos que todo elemento de também é elemento de e vice-versa.
Relação de Inclusão
Dizemos que é um subconjunto de (ou que está contido em ) quando todo elemento de também é um elemento de . Neste caso, escreveremos .
Se não for subconjunto de , podemos escrever . Isto acontece se, e somente se, existe algum elemento de que não pertence a .
Desta forma, para provarmos que , basta provarmos que se , então .
Diremos que é um subconjunto próprio de quando , mas não é vazio e é diferente de .
Propriedades da Inclusão
(i) (Reflexiva)
(ii) (Anti-Simétrica) Se e , então .
(iii) (Transitiva) Se e , então .
(Muita usada para mostrar que dois conjuntos são iguais.)
(iv)
Operações entre Conjuntos
Do mesmo jeito que podemos fazer operações entre números (por exemplo: adição, subtração, multiplicação e divisão), também podemos fazer operações entre conjuntos.
União de Conjuntos
Observe que este "ou" é não exclusivo. Este é um "ou" que é usado em coisas que podem acontecer ao mesmo tempo. Por exemplo, alguém pode dizer "vou trabalhar ou vou à praia". Se ele for aos dois lugares, esta afirmação continuará sendo verdadeira.
Em outras palavras, se algum elemento pertence a ambos os conjuntos, também pertencerá a união.
Intersecção entre Conjuntos
Diremos que os conjuntos e são disjuntos quando .
Cardinalidade de um Conjunto
Usaremos , ou para representar a quantidade de elementos de um conjunto.
Se , então .
Dois conjuntos e são disjuntos se, e somente se, .
Se são dois a dois disjuntos, então
Produto Cartesiano
Sejam e conjuntos. Então o produto cartesiano entre e é definido por.
Podemos falar do produto cartesiano de conjuntos.
Máximo e Mínimo de um Conjunto
O máximo de um conjunto , denotado por , é um elemento tal que , para todo .
Podemos representar por .
Da mesma forma, o mínimo de um conjunto , denotado por , é um elemento tal que , para todo .
Podemos representar por .
Bibliografia
- LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio. 10. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012. 280 p. v. 1.