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Em problemas de construções geométricas, você deve imaginar a construção pronta e ver quais propriedades são interessantes e você consegue desenhar.

Existem construções bem conhecidas que durante as soluções não precisam ser explicadas e nem detalhadas, como por exemplo:

  • Ponto médio;
  • Mediatriz;
  • Reta paralela passando por um determinado ponto;
  • Perpendicular passando por determinado ponto;
  • Bissetriz.

Exemplo (Cone Sul 2002) Editar

De um triângulo $ ABC $, retângulo em $ A $, conhecemos: o ponto $ T $ de tangência da circunferência inscrita em $ ABC $ com a hipotenusa $ BC $, o ponto $ D $ de interseção da bissetriz interna do ângulo $ \angle B $ com o lado $ AC $ e $ E $ de interseção da bissetriz interna do ângulo $ \angle C $ com o lado $ AB $. Descreva uma construção com régua e compasso para obter os pontos $ A,B $ e $ C $. Justifique.

Solução: Em outras palavras, precisamos construir $ A $, $ B $ e $ C $ a partir dos pontos $ T $, $ D $ e $ E $. Vamos imaginar a construção pronta.

Como podemos relacionar $ D $ e $ E $ com os outros vértices? Sabemos que os pontos da bissetriz são equidistantes aos outros vértices. Desta maneira, se $ W $ e $ Y $ são pontos de $ BC $ tais que $ DW $ e $ EY $ são perpendiculares a $ BC $, segue que $ AD=DW $ e $ AE=EY $.

Qual a vantagem disto? É que $ A $ pertence à circunferência de centro $ E $ e raio $ EY $ e também à de centro $ D $ e raio $ DW $. Com isso, podemos construir $ A $ a partir de $ D $, $ E $, $ W $ e $ Y $.

Mas como construimos $ W $ e $ Y $ a partir de $ D $ e $ E $? Para isto, precisamos da reta $ BC $. Detalhe: eu disse reta e não segmento.

Observe que ainda não usamos o ponto $ T $. Como podemos relacioná-los com o resto da figura? Que tal calcularmos $ WT $ e $ TY $ para ver se descobrimos algo?

Vamos considerar algumas medidas. Sejam $ a=BC $, $ b=AC $, $ c=AB $ e $ p $ o semiperímetro do triângulo $ ABC $. Uma das maneiras de calcularmos $ WT $ é sabermos $ WB $ e $ TB $ e depois subtrairmos.

Como $ T $ é ponto de tangência, segue que $ TB=p-b $. E quanto a $ WB $? Como os triângulos $ ABD $ e $ WBD $ são congruentes, segue que $ WB=AB=c $. Desta forma,

$ WT=WB-TB=c-(p-b)=p-a. $

Da mesma forma, para calcularmos $ YT $, precisamos calcular $ YC $ e $ CT $ e subtrair um do outro. E de modo análogo, podemos ver $ YC=b $ e $ CT=p-a $. Desta forma,

$ YT=YC-CT=b-(p-c)=p-a. $

Assim $ WT=TY $, ou seja, $ T $ é ponto médio de $ WY $. Considere $ N $ o ponto médio do segmento $ DE $. Qual a vantagem disto? É que $ NT $ é base média do trapézio $ DEWY $, de onde segue que $ NT $ é perpendicular a $ BC $.

ConeSul2002q1

A partir de agora podemos construir a reta $ BC $. De fato, tome um ponto $ N' $ sobre a reta $ NT $ de forma que $ TN'=TN $. Observe que a mediatriz de $ NN' $ coincide com a reta $ BC $.

Agora sim podemos construir $ W $ e $ Y $ a partir de $ D $, $ E $ e $ T $: basta construirmos a reta $ BC $ e depois tomarmos $ W $ e $ Y $ sobre a reta $ BC $ de forma que $ DW $ e $ EY $ são perpendiculares a $ BC $.

Agora já temos condições de construirmos $ A $: basta tomarmos um dos pontos de intersecção entre a circunferência de centro $ D $ e raio $ DW $ e a de centro $ E $ e raio $ EY $.

E como construimos $ B $ e $ C $ em termos do que já temos construído? Basta considerarmos os pontos de intersecção da mediatriz de $ NN' $ com $ AE $ e $ AD $ e teremos, respectivamente, $ B $ e $ C $. Com isso, teremos o triângulo $ ABC $.

Mas quem garante que $ W $ ou $ Y $ não coincidam com $ T $? Se isso $ W $ coincidisse com $ T $, então $ WT=p-a=0 $, ou seja, $ a=b+c $, o que contradiz a Desigualdade Triangular. Pelo mesmo motivo, $ Y $ também não pode coincidir com $ T $.

Construção:

(1) Considere $ N $ o ponto médio de $ DE $.

(2) Tome $ N' $ um ponto sobre a reta $ NT $ tal que $ NT=TN' $.

(3) Construa a mediatriz de $ NN' $.

(4) Considere construa perpendiculares à mediatriz de $ NN' $ passando por $ D $ e $ E $. Os pontos de intersecção com a mediatriz de $ NN' $, chame de $ W $ e $ Y $, respectivamente.

(5) Tome $ B $ e $ C $ os pontos de intersecção da mediatriz de $ NN' $ com $ AE $ e $ AD $, respectivamente.

Construa Pontos Usando Razões Editar

Considere $ AB $ um segmento e dois pontos $ C $ e $ D $ pertencentes a ele. Se $ \frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DB} $, então $ C $ e $ D $ coincidem.

Às vezes, para construir $ C $, precisamos encontrar um ponto $ D $ tal que $ \frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DB} $.

Exemplo (Cone Sul 1999) Editar

Seja $ ABC $ um triângulo retângulo em $ A $. Construir o ponto $ P $ sobre a hipotenusa $ BC $, tal que se $ Q $ for o pé da perpendicular traçada desde $ P $ ao cateto $ AC $, então a área do quadrado de lado $ PQ $ é igual à área do retângulo de lados iguais a $ PB $ e $ PC $. Mostrar os passos da construção.

ConeSul1999q2

Solução: Em outras palavras, queremos que $ PQ^2=PB.PC (*) $. A ideia aqui é calcularmos $ \frac{PB}{PC} $ em função de elementos do triângulo $ ABC $ e depois conseguirmos construir um ponto $ Q $ pertencente a $ BC $ tal que $ \frac{QB}{QC}=\frac{PB}{PC} $.

Vamos imaginar a construção pronta. Encontraremos relações que envolvam $ PQ,PB $ e $ PC $ para depois podermos comparar com $ (*) $.

Conseguimos envolver $ PQ $ e $ PC $ em uma semelhança agora. Com efeito, observe que $ PQ $ é paralelo a $ AB $ de onde segue que $ PQC $ e $ BAC $ são semelhantes. Com isso,

$ \frac{PQ}{AB}=\frac{PC}{BC} \Leftrightarrow PQ = \frac{PC.AB}{BC}. $

Se substituirmos em $ (*) $:

$ \left(\frac{PC.AB}{BC}\right)^2=PB.PC \Leftrightarrow \frac{AB^2}{BC^2}=\frac{PB}{PC}. (**) $

Também conseguimos calcular $ AB^2 $ de outra maneira. De fato, se $ AH $ for a altura relativa a $ BC $, então

$ AB^2=BH.BC $

Se substituirmos em $ (**) $:

$ \frac{BH.BC}{BC^2}=\frac{PB}{PC} \Leftrightarrow \frac{BH}{BC}=\frac{PB}{PC}. $

Construiremos um ponto $ Q $ pertencente a $ BC $ tal que $ \frac{QB}{QC}=\frac{BH}{BC}(***) $. Se isto acontecer, teremos construído o ponto $ P $.

ConeSul1999q21

Como aparecem razões, é interessante que consigamos uma semelhança que envolva $ QB $, $ QC $, $ BH $ e $ BC $. Para encontrarmos essa semelhança, tomemos algum paralelismo. Faremos isto da seguinte maneira: tomaremos $ B' $ um ponto tal que $ B'C $ é paralelo a $ BC $. Ainda precisamos da medida de $ B'C $ para determinarmos exatamente a sua maneira de construir. Faremos isto depois.

Além disso, tomemos $ H' $ o ponto de intersecção entre $ AB $ e $ B'Q $ (lembre-se que depois precisamos determinar a medida de $ BH' $ para podermos saber qual a posição exata de $ Q $). Qual a vantagem de fazermos isto? É que conseguimos que $ QBH' $ e $ QCB' $ são semelhantes. Desta semelhança,

$ \frac{QB}{QC}=\frac{BH'}{B'C}. $

Para que $ (***) $ aconteça, basta tomarmos $ BH'=BH $ e $ B'C=BC $. Isto implicaria que $ P $ e $ Q $ coincidem.

Construção:

(1) Construa $ B' $ um ponto tal que $ B'C $ seja paralelo a $ AB $, $ B $ e $ B' $ estão no mesmo semiplano determinado por $ BC $ e $ B'C=BC $.

(2) Trace a altura $ AH $ relativa à hipotenusa $ BC $.

(3) Marque $ H' $ no segmento $ AB $ tal que $ BH'=BH $.

(4) O ponto $ P $ será a intersecção entre $ BC $ e $ B'H' $.