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Critério de Divisibilidade por $ 2 $Editar

Um número é divisível por $ 2 $ se, e somente se, o seu último algarismo for $ 0,2,4,6 $ ou $ 8 $

Critério de Divisibilidade por $ 3 $Editar

Um número é divisível por $ 3 $ se, e somente se, a soma dos seus algarismos também for divisível por $ 3 $.

Critério de Divisibilidade por $ 9 $Editar

Um número é divisível por $ 9 $ se, e somente se, a soma dos seus algarismos também for divisível por $ 9 $.

Exemplo (Cone Sul 2001) Editar

Ache todos os números inteiros positivos $ m $ tais que $ m+2001.S(m)=2m $ onde $ S(m) $ representa a soma dos algarismos de $ m $.

Solução: Observe que

$ m+2001.S(m)=2m \Leftrightarrow m=2001.S(m). (*) $

Porém observe que se $ m $ possui $ n $ algarismos, então $ S(m) \leq 9n (**) $. Se combinarmos isto com $ (*) $,

$ m=2001S(m) \leq 18009n. (***) $

Conseguimos encontrar outra desigualdade que envolva $ m $ e $ n $? Sim: como $ m $ possui $ n $ algarismos, segue que $ m \geq 10^{n-1} (****) $.

De $ (***) $ e $ (****) $, segue que

$ 10^{n-1} \leq 18009n. $

Esta desigualdade vale para todo $ n $ natural menor ou igual a $ 6 $. É possível mostrar por indução em $ n $ que essa desigualdade não é válida para $ n $ maior que $ 6 $.

Desta forma, por $ (**) $, $ S(m) \leq 54 $. Existe alguma outra informação que podemos ter sobre $ S(m) $?

Observe que, por $ (*) $, $ m $ é múltiplo de $ 3 $, o que equivale a dizer que $ S(m) $ também é, ou seja, existe $ k $ inteiro tal que $ S(m)=3k $. Se substituirmos em $ (*) $, $ m=2001.3k $, de onde segue que $ m $ é múltiplo de $ 9 $ e assim $ S(m) $ também será.

Logo, os possíveis valores de $ S(m) $ são $ 9,18,27,36,45 $ e $ 54 $. Analisemos cada uma das possibilidades.

(i) $ S(m)=9 $

Pela equação $ (*) $, $ m=18009 $, de onde segue que $ S(m)=18 $, o que é uma contradição. Logo, este caso não nos dá nenhuma solução.

(ii) $ S(m)=18 $

Por $ (*) $, $ m=18.2001=36018 $ que possui soma dos algarismos igual a $ 18 $. Logo, $ m=36018 $ é uma solução.

(iii) $ S(m)=27 $

Por um raciocínio análogo a (i), este caso não possui solução.

(iv) $ S(m)=36 $

Por um raciocínio análogo a (i), este caso não possui solução.

(v) $ S(m)=45 $

Por um raciocínio análogo a (i), este caso não possui solução.

(vi) $ S(m)=54 $

Por um raciocínio análogo a (i), este caso não possui solução.

Com isso, a única solução é $ m=36018 $.