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Suponha que queremos provar que uma equação diofantina não possui solução inteira. O Descenso Infinito de Fermat é uma estratégia para isto.

  • Consideraremos uma propriedade para essa solução (essa propriedade precisa ser representada por um natural).
  • Tomaremos a solução com o menor natural possível como definido anteriormente.
  • Determinaremos uma solução com um número natural associado menor ainda.

Exemplo (Cone Sul)Editar

Prove que não existem inteiros positivos x,y,z tais que x^2+y^2=3z^2.

Solução:

Considere (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0) uma solução com o menor x_0 possível, isto é, {x_0}^2+{y_0}^2=3{z_0}^2 . Encontraremos outra solução (a,b,c) com a<x_0. Seria interessante se conseguíssemos fazer alguma das incógnitas sumir. Para isto, façamos módulo 3:

{x_0}^2+{y_0}^2 \equiv 0 \mod 3.

Sabemos que se a é inteiro, então a^2 \equiv 0,1 \mod 3. Assim, se {x_0}^2+{y_0}^2 \equiv 0 \mod 3., então

{x_0}^2 \equiv {y_0}^2 \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow x_0 \equiv y_0 \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow 3|x_0,y_0.

Deste modo, existem a e b inteiros tais que x_0=3a e y_0=3b. Com isso,

(3a)^2+(3b)^2=3{z_0}^2 \Leftrightarrow 3(a^2+b^2)={z_0}^2.

Logo, 3|{z_0}^2, de onde segue que 3|z_0. Com isso, existe c inteiro tal que z_0=3c. Assim,

3(a^2+b^2)=9c^2 \Leftrightarrow a^2+b^2=3c^2.

Com isso, (a,b,c) é solução, com a< x_0 (pois x_0=3a>a). Desta forma, não existe solução inteira positiva para a equação do enunciado.

Páginas RelacionadasEditar

Equações Diofantinas

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