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Suponha que queremos provar que uma equação diofantina não possui solução inteira. O Descenso Infinito de Fermat é uma estratégia para isto.

  • Consideraremos uma propriedade para essa solução (essa propriedade precisa ser representada por um natural).
  • Tomaremos a solução com o menor natural possível como definido anteriormente.
  • Determinaremos uma solução com um número natural associado menor ainda.

Exemplo (Cone Sul 1992)Editar

Prove que não existem inteiros positivos $ x,y,z $ tais que $ x^2+y^2=3z^2 $.

Solução: Considere $ (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0) $ uma solução com o menor $ x_0 $ possível, isto é, $ {x_0}^2+{y_0}^2=3{z_0}^2 $ . Encontraremos outra solução $ (a,b,c) $ com $ a<x_0 $. Seria interessante se conseguíssemos fazer alguma das incógnitas sumir. Para isto, façamos módulo $ 3 $:

$ {x_0}^2+{y_0}^2 \equiv 0 \pmod 3. $

Sabemos que se $ a $ é inteiro, então $ a^2 \equiv 0,1 \pmod 3 $. Assim, se $ {x_0}^2+{y_0}^2 \equiv 0 \pmod 3. $, então

$ {x_0}^2 \equiv {y_0}^2 \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow x_0 \equiv y_0 \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow 3|x_0,y_0. $

Deste modo, existem $ a $ e $ b $ inteiros positivos tais que $ x_0=3a $ e $ y_0=3b $. Com isso,

$ (3a)^2+(3b)^2=3{z_0}^2 \Leftrightarrow 3(a^2+b^2)={z_0}^2. $

Logo, $ 3|{z_0}^2 $, de onde segue que $ 3|z_0 $. Com isso, existe $ c $ inteiro tal que $ z_0=3c $. Assim,

$ 3(a^2+b^2)=9c^2 \Leftrightarrow a^2+b^2=3c^2. $

Com isso, $ (a,b,c) $ é solução, com $ a< x_0 $ (pois $ x_0=3a>a $). Desta forma, não existe solução inteira positiva para a equação do enunciado.

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Equações Diofantinas