Sejam $ a_1, a_2, ..., a_n $ reais. A média aritmética de $ a_1, a_2, ..., a_n $ é
$ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}. $
Já se $ a_1, a_2, ..., a_n $ forem reais maiores ou iguais a zero, então a média geométrica de $ a_1, a_2, ..., a_n $ será
$ \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}. $
A Desigualdade das Médias nos diz que se $ a_1, a_2, ..., a_n $ forem reais maiores ou iguais a zero, então a média aritmética entre eles é sempre maior ou igual a média geométrica, isto é,
$ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}. $
A igualdade vale se, e somente se, $ a_1= a_2= ...= a_n $.
Esta desigualdade é útil, por exemplo, quando você souber quanto vale o produto, mas quer mexer com a soma em alguma desigualdade (ou vice-versa). Ou simplesmente para quando você quiser relacionar soma e produto de alguma forma.
Exemplo
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Se $ x $,$ y $ e $ z $ são números reais positivos, mostre que
$ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3 $
Solução: Observe que o produto dos números do primeiro membro é $ \frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}=1 $. Você sabe bem sobre o produto e quer mexer com a soma em uma desigualdade. Está na hora de aplicarmos a Desigualdade das Médias:
$ \frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3. $
Exemplo (IMO 1984) Editar
Prove que
$ 0 \leq xy+yz+zx-2xyz \leq \frac{7}{27} $
onde $ x,y $ e $ z $ são números reais não negativos para os quais $ x+y+z=1 $.
Solução: Pela simetria, podemos supor, sem perda de generalidade, que $ x \leq y \leq z $. Assim, $ x \leq \frac{1}{3} $ (pois se $ x > \frac{1}{3} $, então $ y,z>\frac{1}{3} $ e assim $ x+y+z>\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1 $, o que contradiz o enunciado).
Comecemos mostrando que
$ xy+yz+zx-2xyz \geq 0. $
Seria interessante se a expressão do enunciado tivesse mais de um letra só (pois assim poderíamos controlá-la). Usemos então que $ x+y+z=1 \Leftrightarrow y+z=1-x $.
$ xy+yz+zx-2xyz = x(y+z)+yz-2xyz = x(1-x)+yz(1-2x). $
Escrevemos em função de $ x $ pois já sabemos informações sobre ele: vimos que $ x \leq \frac{1}{3} $. Como $ x,y $ e $ z $ são não negativos e $ 1-x \geq 0 $ e $ 1-2x \geq 0 $ (pois $ x \leq \frac{1}{3} $) segue que
$ x(1-x)+yz(1-2x)\geq 0. $
Resta mostrarmos que
$ xy+yz+zx-2xyz \leq \frac{7}{27}, $
isto é,
$ x(1-x)+yz(1-2x)\leq \frac{7}{27}.(*) $
Seria interessante se conseguíssemos uma desigualdade que envolvesse apenas $ x $ (ou seja se pudéssemos tirar o $ yz $ da jogada). Conseguíssemos envolver o $ yz $ em alguma desigualdade que também tenha $ x $? Vale a pena procurarmos uma desigualdade que envolva $ yz $ e $ y+z $, pois aí, basta substituirmos $ y+z $ por $ 1-x $
Mas nós conhecemos uma desigualdade que envolve soma e produto: a Desigualdade das Médias. Por ela,
$ \frac{y+z}{2} \geq \sqrt{yz} \Leftrightarrow (\frac{1-x}{2})^2 \geq yz. $
Desta forma,
$ x(1-x)+yz(1-2x)\leq x(1-x)+(\frac{1-x}{2})^2(1-2x)=\frac{1}{4}+\frac{x^2(1-2x)}{4}. $
Se mostrarmos que
$ \frac{1}{4}+\frac{x^2(1-2x)}{4} \leq \frac{7}{27}, $
então $ (*) $ é verdadeira. Observe que a desigualdade acima equivale a
$ x^2(1-2x) \leq \frac{1}{27}. $
E para mostrarmos esta última desigualdade? Usaremos a Desigualdade das Médias novamente (afinal aparece um produto aí que seria legal se fosse uma soma).
$ \frac{x+x+1-2x}{3} \geq \sqrt[3]{xx(1-2x)} \Leftrightarrow x^2(1-2x) \leq \frac{1}{27}. $
Como usamos a Desigualdade das Médias duas vezes, a igualdade vale se, e somente se, $ y=z $ e $ x=1-2x \Leftrightarrow x=\frac{1}{3} $. Mas sabemos que $ x+y+z=1 $. Logo, a desigualdade vale se e só se $ x=y=z=\frac{1}{3} $.
Exemplo (Cone Sul 1991)Editar
Dado um inteiro positivo $ n $ ($ n \neq 0 $), seja $ f(n) $ a média de todos os divisores positivos de $ n $. Por exemplo, $ f(3)=\frac{1+3}{2}=2 $ e $ f(12)=\frac{1+2+3+4+6+12}{6}=\frac{14}{3} $.
(a) Prove que $ \frac{n+1}{2} \geq f(n) \geq \sqrt{n} $.
(b) Encontre todos os valores de $ n $ tais que $ f(n)=\frac{91}{9} $.
Solução:
(a) Queremos montar uma igualdade que envolve a soma dos divisores. Sabemos algo sobre o seu produto? Sim: podemos agrupar os divisores de modo que o seu produto seja $ n $. De fato, sabemos que $ k $ é divisor de $ n $ se, e somente se, $ \frac{n}{k} $ também for.
Neste caso, podemos quase sempre agrupar de dois em dois com o produto sendo igual a $ n $. De fato, se $ k=\sqrt{n} $, então $ \frac{n}{k}=k $. Observe que $ \sqrt{n} $ é divisor de $ n $ se, e somente se, $ n $ for um quadrado perfeito.
Para nos livrarmos destas complicações, vamos dividir nossas soluções em casos.
1º Caso: $ n $ não é quadrado perfeito.
Neste caso, $ n $ possui uma quantidade par de divisores e com isso podemos agrupá-los em pares, de modo que o produto dos números destes pares seja $ n $. Vejamos isso de uma maneira mais algébrica. Aqui, $ n $ possui $ 2k $ divisores (para algum $ k $ inteiro) de tal forma que podemos considerar os divisores como sendo $ a_1,a_2,...,a_k,b_1,b_2,...,b_k $ de forma que
$ a_1b_1=a_2b_2=...=a_kb_k=n. $
Sabemos o produto e queremos encontrar alguma desigualdade que envolva soma. Por isso, devemos aplicar a Desigualdade das Médias:
$ f(n)=\frac{a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_k+b_k}{2k} \geq \sqrt[2k]{a_1b_1a_2b_2...a_kb_k}=\sqrt[2k]{n.n...n}=\sqrt[2k]{n^k}=\sqrt{n}. $
E para provarmos que $ f(n) \leq n+1 $? Se encontrarmos uma outra desigualdade em que $ a_i+b_i $ seja menor ou igual a algo, encontrarmos alguma desigualdade em que $ f(n) $ é menor ou igual a algo. Lembre-se: ainda queremos relacionar coisas da forma $ a+b $ e $ ab $. Observe que $ a\geq 1 $ e $ b\geq 1 $. Podemos tirar alguma desigualdade daí? Já que queremos fazer aparecer um produto, que tal multiplicarmos? De fato,
$ (a-1)(b-1) \geq 0 \Leftrightarrow a+b \leq ab+1. $
Desta forma, para $ i=1,2,\dots,k $ vale que $ a_i+b_i \leq a_ib_i+1=n+1 $. Com isso,
$ f(n)=\frac{a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_k+b_k}{2k} \leq \frac{n+1+n+1+...+n+1}{2k}=\frac{k(n+1)}{2k}=\frac{n+1}{2}. $
Portanto, para este caso, vale $ \frac{n+1}{2} \geq f(n) \geq \sqrt{n} $.
2º Caso: $ n $ é quadrado perfeito.
A quantidade de divisores positivos, neste caso, é ímpar, ou seja, $ 2k+1 $, para algum $ k $ inteiro. Podemos separar os divisores como sendo $ a_1,a_2,...,a_k,b_1,b_2,...,b_k $ de forma que
$ a_1b_1=a_2b_2=...=a_kb_k=n. $
Além desses daí teremos outro divisor: o $ \sqrt{n} $. Deste modo,
$ f(n)=\frac{a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_k+b_k+\sqrt{n}}{2k+1} \geq \sqrt[2k]{a_1b_1a_2b_2...a_kb_k\sqrt{n}}=\sqrt[2k]{n.n...n}=\sqrt[2k]{n^k}=\sqrt{n}. $
Além disso,
$ f(n)=\frac{a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_k+b_k+\sqrt{n}}{2k+1} \leq \frac{n+1+n+1+...+n+1+\sqrt{n}}{2k+1}=\frac{k(n+1)+\sqrt{n}}{2k+1}. $
O problema desta desigualdade é que o $ \sqrt{n} $ está atrapalhando. Como podemos tirar ele das nossas contas? Que tal uma desigualdade que o envolve. Observe que $ \sqrt{n} $ pode ser visto como a média geométrica entre $ n $ e $ 1 $. Pela Desigualdade das médias,
$ \sqrt{n} \leq \frac{n+1}{2}. $
Com isso,
$ f(n) \leq \frac{k(n+1)+\sqrt{n}}{2k+1} \leq \frac{k(n+1)+\frac{n+1}{2}}{2k+1} = \frac{n+1}{2}. $
(b) Vamos encontrar condições para $ n $, para eliminarmos possibilidades. Usemos o item anterior para impor condições para $ n $.
$ \frac{n+1}{2} \geq f(n) \geq \sqrt{n} \Leftrightarrow \frac{n+1}{2} \geq \frac{91}{9} \geq \sqrt{n}. $
A partir disso, podemos concluir que $ \frac{173}{9} \leq n \leq \frac{8281}{9} $. Como $ n $ é inteiro, $ 20 \leq n \leq 102 $. E agora? Vamos extrair as informações de outra maneira. Observe que
$ f(n)=\frac{\text{soma dos divisores positivos}}{\text{numero de divisores positivos}}=\frac{91}{9}. $
Com isso, a quantidade de divisores positivos é um múltiplo de $ 9 $, ou seja, ela pode ser igual a $ 9,18,27,36,... $. Porém, como $ n $ não é "tão grande", a quantidade de divisores também não será. Será que $ n $ pode ter $ 18 $ divisores positivos? Vamos pensar na sua fatoração em primos. Se $ n=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k} $ tem $ 18 $ divisores positivos, então
$ (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)=18. $
Repare que $ \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k $ são todos positivos, de onde segue que cada um dos fatores da igualdade anterior são maiores que $ 1 $. Como podemos escrever $ 18 $ como o produto de naturais maiores ou iguais a $ 1 $? Das seguintes maneiras: $ 2.3.3 $, $ 3.6 $ e $ 2.9 $.
O menor número que possui $ 18 $ divisores postivos é $ 2^2.3^2.5^1=180 $. Logo, $ n $ possui $ 9 $ divisores positivos (pois é menor ou igual a $ 102 $). Desta forma, $ n $ deve ser um quadrado perfeito (pois possui uma quantidade ímpar de divisores positivos).
Já que $ 20 \leq n \leq 102 $, os valores possíveis para $ n $ são $ 25 $,$ 36 $,$ 49 $,$ 64 $,$ 81 $ e $ 100 $. Dentre estes, os únicos que possuem $ 9 $ divisores positivos são $ 36 $ e $ 100 $. Vamos testar para ver qual deles é a nossa solução.
$ f(36)=\frac{1+2+3+4+6+9+12+18+36}{9}=\frac{91}{9} $
enquanto
$ f(100)=\frac{1+2+4+5+10+20+25+50+100}{9}=\frac{217}{9}. $
Portanto, $ n=36 $.
Outra Média na Desigualdade: a Média Harmônica Editar
Sejam $ a_1, a_2, ..., a_n $ reais não nulos. A média harmônica destes números é definida por
$ \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}} $.
Se $ a_1, a_2, ..., a_n $são reais positivos, a média harmônica deles é menor ou igual à sua média geométrica, ou seja,
$ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}}. $
