Sejam reais. A média aritmética de
é
Já se forem reais maiores ou iguais a zero, então a média geométrica de
será
A Desigualdade das Médias nos diz que se forem reais maiores ou iguais a zero, então a média aritmética entre eles é sempre maior ou igual a média geométrica, isto é,
A igualdade vale se, e somente se,.
Esta desigualdade é útil, por exemplo, quando você souber quanto vale o produto, mas quer mexer com a soma em alguma desigualdade (ou vice-versa).
Exemplo
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Se ,
e
são números reais positivos, mostre que
Solução:
Observe que o produto dos números do primeiro membro é . Você sabe bem sobre o produto e quer mexer com a soma em uma desigualdade. Está na hora de aplicarmos a Desigualdade das Médias:
Exemplo (Cone Sul 1991)
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Dado um inteiro positivo (
), seja
a média de todos os divisores positivos de
. Por exemplo,
e
.
(a) Prove que .
(b) Encontre todos os valores de tais que
.
Solução:
(a) Queremos montar uma igualdade que envolve a soma dos divisores. Sabemos algo sobre o seu produto? Sim: podemos agrupar os divisores de modo que o seu produto seja . De fato, sabemos que
é divisor de
se, e somente se,
também for.
Neste caso, podemos quase sempre agrupar de dois em dois com o produto sendo igual a . De fato, se
, então
. Observe que
é divisor de
se, e somente se,
for um quadrado perfeito.
Para nos livrarmos destas complicações, vamos dividir nossas soluções em casos.
1º Caso: não é quadrado perfeito.
Neste caso, possui uma quantidade par de divisores e com isso podemos agrupá-los em pares, de modo que o produto dos números destes pares seja
. Vejamos isso de uma maneira mais algébrica. Aqui,
possui
divisores (para algum
inteiro) de tal forma que podemos considerar os divisores como sendo
de forma que
Sabemos o produto e queremos encontrar alguma desigualdade que envolva soma. Por isso, devemos aplicar a Desigualdade das Médias:
E para provarmos que ? Se encontrarmos uma outra desigualdade em que
seja menor ou igual a algo, encontrarmos alguma desigualdade em que
é menor ou igual a algo. Lembre-se: ainda queremos relacionar coisas da forma
e
. Observe que
e
. Podemos tirar alguma desigualdade daí? Já que queremos fazer aparecer um produto, que tal multiplicarmos? De fato,
Desta forma, para vale que
. Com isso,
Portanto, para este caso, vale .
2º Caso: é quadrado perfeito.
A quantidade de divisores positivos, neste caso, é ímpar, ou seja, , para algum
inteiro. Podemos separar os divisores como sendo
de forma que
Além desses daí teremos outro divisor: o . Deste modo,
Além disso,
O problema desta desigualdade é que o está atrapalhando. Como podemos tirar ele das nossas contas? Que tal uma desigualdade que o envolve. Observe que
pode ser visto como a média geométrica entre
e
. Pela Desigualdade das médias,
Com isso,
(b) Vamos encontrar condições para , para eliminarmos possibilidades. Usemos o item anterior para impor condições para
.
A partir disso, podemos concluir que . Como
é inteiro,
. E agora? Vamos extrair as informações de outra maneira. Observe que
Com isso, a quantidade de divisores positivos é um múltiplo de , ou seja, ela pode ser igual a
. Porém, como
não é "tão grande", a quantidade de divisores também não será. Será que
pode ter
divisores positivos? Vamos pensar na sua fatoração em primos. Se
tem
divisores positivos, então
Repare que são todos positivos, de onde segue que cada um dos fatores da igualdade anterior são maiores que
. Como podemos escrever
como o produto de naturais maiores ou iguais a
? Das seguintes maneiras:
,
e
.
O menor número que possui divisores postivos é
. Logo,
possui
divisores positivos (pois é menor ou igual a
). Desta forma,
deve ser um quadrado perfeito (pois possui uma quantidade ímpar de divisores positivos).
Já que , os valores possíveis para
são
,
,
,
,
e
. Dentre estes, os únicos que possuem
divisores positivos são
e
. Vamos testar para ver qual deles é a nossa solução.
enquanto
Portanto, .
Outra Média na Desigualdade: a Média Harmônica
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Sejam reais não nulos. A média harmônica destes números é definida por
.
Se são reais positivos, a média harmônica deles é menor ou igual à sua média geométrica, ou seja,