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Sejam a_1, a_2, ..., a_n reais. A média aritmética de a_1, a_2, ..., a_n é

\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}.

Já se a_1, a_2, ..., a_n forem reais positivos, então a média geométrica de a_1, a_2, ..., a_n será

\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}.

A Desigualdade das Médias nos diz que se a_1, a_2, ..., a_n forem reais positivos, então a média aritmética entre eles é sempre maior ou igual a média geométrica, isto é,

\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}.

Esta desigualdade é útil, por exemplo, quando você souber quanto vale o produto, mas quer mexer com a soma em alguma desigualdade (ou vice-versa).

ExemploEditar

Se x,y e z são números reais positivos, mostre que

\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3

Solução:

Observe que o produto dos números do primeiro membro é \frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}=1. Você sabe bem sobre o produto e quer mexer com a soma em uma desigualdade. Está na hora de aplicarmos a Desigualdade das Médias:

\frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3.

Exemplo (Cone Sul)Editar

Dado um inteiro positivo n (n \neq 0), seja f(n) a média de todos os divisores positivos de n. Por exemplo, f(3)=\frac{1+3}{2}=2 e f(12)=\frac{1+2+3+4+6+12}{6}=\frac{14}{3}.

(a) Prove que \frac{n+1}{2} \geq f(n) \geq \sqrt{n}.

(b) Encontre todos os valores de n tais que f(n)=\frac{91}{9}.

Solução:

(a) Queremos montar uma igualdade que envolve a soma dos divisores. Sabemos algo sobre o seu produto? Sim: podemos agrupar os divisores de modo que o seu produto seja n. De fato, sabemos que k é divisor de n se, e somente se, \frac{n}{k} também for.

Neste caso, podemos quase sempre agrupar de dois em dois com o produto sendo igual a n. De fato, se k=\sqrt{n}, então \frac{n}{k}=k. Observe que \sqrt{n} é divisor de n se, e somente se, n for um quadrado perfeito.

Para nos livrarmos destas complicações, vamos dividir nossas soluções em casos.

1º Caso: n não é quadrado perfeito.

Neste caso, n possui uma quantidade par de divisores e com isso podemos agrupá-los em pares, de modo que o produto dos números destes pares seja n. Vejamos isso de uma maneira mais algébrica. Aqui, n possui 2k divisores (para algum k inteiro) de tal forma que podemos considerar os divisores como sendo a_1,a_2,...,a_k,b_1,b_2,...,b_k de forma que

a_1b_1=a_2b_2=...=a_kb_k=n.

Sabemos o produto e queremos encontrar alguma desigualdade que envolva soma. Por isso, devemos aplicar a Desigualdade das Médias:

f(n)=\frac{a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_k+b_k}{2k} \geq \sqrt[2k]{a_1b_1a_2b_2...a_kb_k}=\sqrt[2k]{n.n...n}=\sqrt[2k]{n^k}=\sqrt{n}.

E para provarmos que f(n) \leq n+1? Se encontrarmos uma outra desigualdade em que a_i+b_i seja menor ou igual a algo, encontrarmos alguma desigualdade em que f(n) é menor ou igual a algo. Lembre-se: ainda queremos relacionar coisas da forma a+b e ab. Observe que a\geq 1 e b\geq 1. Podemos tirar alguma desigualdade daí? Já que queremos fazer aparecer um produto, que tal multiplicarmos? De fato,

(a-1)(b-1) \geq 0 \Leftrightarrow a+b \leq ab+1.

Desta forma, para i=1,2,\dots,k vale que a_i+b_i \leq a_ib_i+1=n+1. Com isso,

f(n)=\frac{a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_k+b_k}{2k} \leq \frac{n+1+n+1+...+n+1}{2k}=\frac{k(n+1)}{2k}=\frac{n+1}{2}.

Portanto, para este caso, vale \frac{n+1}{2} \geq f(n) \geq \sqrt{n}.

2º Caso: n é quadrado perfeito.

A quantidade de divisores positivos, neste caso, é ímpar, ou seja, 2k+1, para algum k inteiro. Podemos separar os divisores como sendo a_1,a_2,...,a_k,b_1,b_2,...,b_k de forma que

a_1b_1=a_2b_2=...=a_kb_k=n.

Além desses daí teremos outro divisor: o \sqrt{n}. Deste modo,

f(n)=\frac{a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_k+b_k+\sqrt{n}}{2k+1} \geq \sqrt[2k]{a_1b_1a_2b_2...a_kb_k\sqrt{n}}=\sqrt[2k]{n.n...n}=\sqrt[2k]{n^k.\sqrt{n}}=\sqrt{n}.

Além disso,

f(n)=\frac{a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_k+b_k+\sqrt{n}}{2k+1} \leq \frac{n+1+n+1+...+n+1+\sqrt{n}}{2k+1}=\frac{k(n+1)+\sqrt{n}}{2k+1}.

O problema desta desigualdade é que o \sqrt{n} está atrapalhando. Como podemos tirar ele das nossas contas? Que tal uma desigualdade que o envolve. Observe que \sqrt{n} pode ser visto como a média geométrica entre n e 1. Pela Desigualdade das médias,

\sqrt{n} \leq \frac{n+1}{2}.

Com isso,

f(n) \leq \frac{k(n+1)+\sqrt{n}}{2k+1} \leq \frac{k(n+1)+\frac{n+1}{2}}{2k+1} = \frac{n+1}{2}.

(b) Vamos encontrar condições para n, para eliminarmos possibilidades. Usemos o item anterior para impor condições para n.

\frac{n+1}{2} \geq f(n) \geq \sqrt{n} \Leftrightarrow \frac{n+1}{2} \geq \frac{91}{9} \geq \sqrt{n}.

A partir disso, podemos concluir que \frac{173}{9} \leq n \leq \frac{8281}{9}. Como n é inteiro, 20 \leq n \leq 102. E agora? Vamos extrair as informações de outra maneira. Observe que

f(n)=\frac{\text{soma dos divisores positivos}}{\text{numero de divisores positivos}}=\frac{91}{9}.

Com isso, a quantidade de divisores positivos é um múltiplo de 9, ou seja, ela pode ser igual a 9,18,27,36,.... Porém, como n não é "tão grande", a quantidade de divisores também não será. Será que n pode ter 18 divisores positivos? Vamos pensar na sua fatoração em primos. Se n=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k} tem 18 divisores positivos, então

(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)=18.

Repare que \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k são todos positivos, de onde segue que cada um dos fatores da igualdade anterior são maiores que 1. Como podemos escrever 18 como o produto de naturais maiores ou iguais a 1? Das seguintes maneiras: 2.3.3, 3.6 e 2.9.

O menor número que possui 18 divisores postivos é 2^2.3^2.5^1=180. Logo, n possui 9 divisores positivos (pois é menor ou igual a 102). Desta forma, n deve ser um quadrado perfeito (pois possui uma quantidade ímpar de divisores positivos).

Já que 20 \leq n \leq 102, os valores possíveis para n são 25,36,49,64,81 e 100. Dentre estes, os únicos que possuem 9 divisores positivos são 36 e 100. Vamos testar para ver qual deles é a nossa solução.

f(36)=\frac{1+2+3+4+6+9+12+18+36}{9}=\frac{91}{9}

enquanto

f(100)=\frac{1+2+4+5+10+20+25+50+100}{9}=\frac{217}{9}.

Portanto, n=36.

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