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É uma generalização da desigualdade das médias.

Vamos definir algumas coisas antes de enunciarmos o resultado.

Sejam $ a_1, a_2, \dots, a_n $ reais positivos e $ \alpha $ um número real. Para $ \alpha \neq 0 $, definamos

$ M_{\alpha}(a_1, a_2, \dots, a_n)=(\frac{a_1^{\alpha}+a_2^{\alpha}+ \dots+ a_n^{\alpha}}{n})^{\frac{1}{\alpha}}, $

enquanto

$ M_0(a_1, a_2, \dots, a_n)=\sqrt[n]{a_1a_2 \dots a_n} $,

ou seja, $ M_{0} $ é a média geométrica.

Em particular,

$ M_{-1} $ é a média harmônica.

$ M_{1} $ é a média aritmética.

$ M_{2} $ é a média quadrática.

$ M_{3} $ é a média cúbica.

Enunciado Editar

A Desigualdade das Médias Potenciais nos diz que $ M_{\alpha} $ é uma função crescente de $ M_{\alpha} $ (a não ser quando $ a_1=a_2= \dots =a_n $, pois, neste caso, ela seria constante). Em termos algébricos, se $ \alpha < \beta $, então $ M_{\alpha} \leq M_{\beta} $ e a igualdade vale se, e somente se, $ a_1=a_2= \dots =a_n $.

Bibliografia Editar

  • E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.