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Suponha que $ x_1 \leq x_2 \leq \dots \leq x_n $ e $ y_1 \leq y_2 \leq \dots \leq y_n $ ou $ x_1 \geq x_2 \geq \dots \geq x_n $ e $ y_1 \leq y_2 \leq \dots \leq y_n $. Se $ \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n >0 $ e $ \lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=1 $, então

$ (\lambda_1 x_1 +\dots+\lambda_nx_n)(\lambda_1 y_1 +\dots+\lambda_n y_n) \leq(\lambda_1 x_1 y_1+\dots+\lambda_nx_n y_n). $

Ou ainda, em termos de somatório:

$ \displaystyle{(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i)(\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i x_iy_i}. $

Quando Podemos Pensar em Usá-la? Editar

  • Quando aparece soma de produtos.
  • Quando aparece produto de somas.

Caso Particular Editar

Se fizermos $ \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n $, nas condições da desigualdade de Chebysev, teremos

$ \frac{(x_1 +\dots+x_n)}{n} \frac{(y_1 +\dots+y_n)}{n} \leq \frac{( x_1 y_1+\dots+x_n y_n)}{n}. $

Em termos de somatório,

$ \displaystyle{\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n x_i)\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n y_i) \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i}. $

Exemplo (IMO Shortlist 1990)Editar

Sejam $ w,x,y,z $ números reais não negativos tais que $ wx+xy+yz+zw=1 $. Prove que

$ \frac{w^3}{x+y+z}+\frac{x^3}{w+y+z}+\frac{y^3}{w+x+z}+\frac{z^3}{w+x+y} \geq \frac{1}{3} $.

Solução: Para facilitar a escrita, faremos

$ W=x+y+z $.

$ X=w+y+z $

$ Y=w+x+z $

$ Z=w+x+y $

Então a desigualdade original é equivalente a

$ \frac{w^3}{W}+\frac{x^3}{X}+\frac{y^3}{Y}+\frac{z^3}{Z} \geq \frac{1}{3} $.

Nesta desigualdade aparece a soma de quatro produtos: $ w^3.\frac{1}{W} $, $ x^3.\frac{1}{X} $, $ y^3.\frac{1}{Y} $ e $ z^3.\frac{1}{Z} $. Por isso, faz sentido pensarmos na desigualdade de Chebyshev. Mas para usarmos-a, precisamos que $ w^3,x^3,y^3,z^3 $ e $ \frac{1}{W}, \frac{1}{X}, \frac{1}{Y}, \frac{1}{Z} $ estejam na mesma ordem.

Como o lado esquerdo da desigualdade não altera se permutarmos as variáveis, ou seja, ele é simétrico, podemos supor, sem perda de generalidade, que $ w\geq x \geq y \geq z $. Com isso, $ w^3\geq x^3 \geq y^3 \geq z^3 $. E quanto a $ \frac{1}{W}, \frac{1}{X}, \frac{1}{Y}, \frac{1}{Z} $? Note que

$ \frac{1}{W} \geq \frac{1}{X} \Leftrightarrow W \leq X \Leftrightarrow x+y+z \leq w+y+z \Leftrightarrow x \leq w $.

Ou seja, é correto afirmarmos que $ \frac{1}{W} \geq \frac{1}{X} $. Podemos usar este mesmo raciocínio para podermos concluir que $ \frac{1}{W} \geq \frac{1}{X} \geq \frac{1}{Y} \geq \frac{1}{Z} $. Agora sim podemos usar a desigualdade de Chebyshev. Por ela:

$ \frac{w^3}{W}+\frac{x^3}{X}+\frac{y^3}{Y}+\frac{z^3}{Z} \geq \frac{1}{4}(w^3+x^3+y^3+z^3)(\frac{1}{W}+\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}). $

Se provarmos que

$ \frac{1}{4}(w^3+x^3+y^3+z^3)(\frac{1}{W}+\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}) \geq \frac{1}{3}, $

nosso problema estará resolvido. Primeiro, como lidar com $ w^3+x^3+y^3+z^3 $? Podemos ver as potências ao cubo como multiplicações. De fato, $ w^3+x^3+y^3+z^3=w^2.w+x^2.x+y^2.y+z^2.z $. Estamos somando produtos? Que tal a desigualdade de Chebyshev outra vez?

$ w^3+x^3+y^3+z^3 \geq \frac{1}{4}(w^2+x^2+y^2+z^2)(w+x+y+z)(**) $.

E como mexer com $ w^2+x^2+y^2+z^2 $? Já sabemos que $ wx+xy+yz+zw=1 $. Podemos relacionar estas duas coisas em uma desigualdade? Pela Desigualdade do Rearranjo,

$ w^2+x^2+y^2+z^2 \geq wx+xy+yz+zw=1(***) $

Por $ (**) $ e $ (***) $

$ w^3+x^3+y^3+z^3 \geq \frac{1}{4}(w+x+y+z) $.

Com isso,

$ \frac{1}{4}(w^3+x^3+y^3+z^3)(\frac{1}{W}+\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}) \geq \frac{1}{16}(w+x+y+z)(\frac{1}{W}+\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}) (****) $

Porém agora temos um problema: no lado direito da desigualdade, $ w,x,y $ e $ z $ aparecem "misturados" com $ W,X,Y $ e $ Z $. E agora? Será que conseguimos escrever $ w+x+y+z $ em função de $ W,X,Y $ e $ Z $? Se somarmos a definição destas últimas,

$ W+X+Y+Z=3(w+x+y+z) $.

Com isso, $ (****) $ pode ser reescrita como:

$ \frac{1}{4}(w^3+x^3+y^3+z^3)(\frac{1}{W}+\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}) \geq \frac{1}{48}(W+X+Y+Z+)(\frac{1}{W}+\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}) $

Pela Desigualdade das Médias,

$ \frac{1}{48}(W+X+Y+Z+)(\frac{1}{W}+\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}) \geq \frac{1}{48}.4\sqrt[4]{WXYZ}.4\sqrt[4]{\frac{1}{WXYZ}}=\frac{1}{3} $

Bibliografia Editar

  • E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.