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(i) (Transitividade) Se $ a\leq b $ e $ b \leq c $, então $ a \leq c $.

(ii) (Tricotomia) Uma, e somente uma, das seguintes afirmações é verdadeira: $ a <b $, $ a=b $ e $ a>b $.

(iii) Se $ a \geq b $ e $ a \leq b $, então $ a=b $.

(iv) $ ab \geq 0 $ se, e somente se, $ a,b \geq 0 $ ou $ a,b \leq 0 $.

(v) $ ab \leq 0 $ se, e somente se, $ a \geq 0 $ e $ b \leq 0 $ ou $ a \leq 0 $ e $ b \geq 0 $.

(vi) Se $ a $ e $ b $ são positivos, então $ a>b \Leftrightarrow a^2>b^2 $.

(vii) Se $ a $ e $ b $ são ambos positivos ou ambos negativos, então $ a \leq b \Leftrightarrow \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} $.

(vii) Se $ a $ e $ b $ são inteiros e $ a>b $, então $ a \geq b+1 $.

(ix) Se $ x \leq 0 $ ou $ x \geq 1 $, então $ x^2 \geq x $. Além disso, se $ 0 \leq x \leq 1 $, então $ x^2 \leq x $.

Estratégias Para Provarmos Desigualdades Editar

Uma das maneiras é reescrevermos de uma maneira equivalente. Se esta maneira for verdadeira, então a original também será.

Todo Número Real Elevado ao Quadrado é Não Negativo Editar

Se $ A $ é um número real, então $ A^2 \geq 0 $.

ObservaçãoEditar

Uma consequência direta aqui é que $ a^2+b^2 \geq 2ab $ e a igualdade vale se, e somente se, $ a=b $.

Exemplo (Cone Sul 1994) Editar

Seja $ p $ um número real positivo dado. Encontre o mínimo valor de $ x^3+y^3 $ sabendo que $ x $ e $ y $ são números reais positivos tais que $ xy(x+y)=p $.

Solução: Aqui é interessante obtermos uma relação entre $ x^3+y^3 $, $ x+y $ e $ xy $. Observe que

$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). (*) $

Quase conseguimos. O que nos atrapalha é esse $ x^2+y^2 $. O que podemos fazer então? Note que

$ x^2+y^2 \geq 2xy \Leftrightarrow x^2+y^2-xy \geq xy. (**) $

Se combinarmos $ (*) $ com $ (**) $:

$ x^3+y^3 \geq (x+y)xy = p $.

E a igualdade vale se, e somente se, $ x=y=(\frac{p}{2})^{\frac{1}{3}} $. Portanto, o valor mínimo da expressão é $ p $.

Exemplo (OBM 2003 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Mostre que $ x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2>0 $, quaisquer que sejam os reais $ x $ e $ y $.

Solução: Comecemos notando que $ x^2+4y^2-4xy $ é um quadrado perfeito, afinal ele é igual a $ (x-2y)^2 $. Então, se usarmos esta ideia e completarmos quadrados, a desigualdade do enunciado pode ser escrita como

$ (x-2y)^2+2(x-2y)+2>0 \Leftrightarrow (x-2y)^2+2(x-2y)+1+1>0 \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow (x-2y+1)^2+1>0 $

Esta desigualdade é verdadeira, pois $ (x-2y+1)^2 \geq 0 $.

Proposição Editar

Se $ a_1 \geq b_1, a_2 \geq b_2, \dots, a_n \geq b_n $ e $ a_1+a_2+\dots+a_n=b_1+b_2+\dots+b_n $, então $ a_1=b_1,a_2=b_2,\dots,a_n=b_n $.

Exemplo (Cone Sul 1998) Editar

São dados $ 98 $ cartões. Em cada um deles está escrito um dos números $ 1,2,3,\dots,98 $ (não existem números repetidos). Pode-se ordenar os $ 98 $ cartões de tal modo que ao considerar dois cartões consecutivos a diferença entre o número maior e o número menor escritos neles seja sempre maior que $ 48 $. Indicar como e de quantas formas é possível efetuar a ordenação.

Solução: Consideremos $ a_1,a_2,a_3,\dots,a_{98} $ uma permutação dos números $ 1,2,3,\dots,98 $ que satisfaz as condições do enunciado. Se conseguirmos estudar bem as diferenças $ |a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{97}-a_{98}| $ e saber sobre $ a_1 $e $ a_{98} $, poderemos saber sobre os outros termos da sequência.

Vamos explorar um pouco mais essas diferenças. Se a diferença entre dois números é $ 49 $, então o maior deles é maior que $ 49 $ (caso contrário, o outro número seria menor que $ 1 $) e assim o menor deles deve ser menor que $ 50 $.

Por isso, vale a pena separar os números em dois tipos. Chamaremos de pequenos, os números $ 1,2,3,\dots,49 $ e de grandes $ 50,51,52,\dots,98 $. Assim, a diferença entre dois números será maior que $ 48 $ quando um deles for pequeno e o outro grande.

Como cada um dos números $ |a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{97}-a_{98}| $ é maior que $ 48 $, segue que se $ a_1 $ é pequeno, então $ a_2 $ é grande, $ a_3 $ é pequeno e assim por diante. Em outras palavras, se $ a_1 $ é pequeno, então todos os termos de índice ímpar são pequenos e os de índice pares são grandes. Da mesma forma, se $ a_1 $ é grande, todos os termos de índice ímpar são grandes e os de índice par são pequenos.

Sem perda de generalidade, considere que $ a_1,a_3,\dots,a_{97} $ são pequenos e $ a_2,a_4,\dots,a_{98} $ grandes. Agora temos mais condições de falar sobre $ |a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{97}-a_{98}| $. Como? Vamos definir a soma desses elementos:

$ S=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_4|+|a_4-a_5|+\dots+|a_{96}-a_{97}|+|a_{97}-a_{98}|. $

Como os termos de índices pares são maiores que os de índices ímpares:

$ S=a_2-a_1+a_2-a_3+a_4-a_3+a_4-a_5+\dots+a_{96}-a_{97}+a_{98}-a_{97}. $

Os termos com índices pares sempre aparecem com um sinal de $ + $ na frentes, enquanto os termos ímpares aparecem com um sinal de $ - $. Vamos agrupar os termos pares e os ímpares, separadamente. Para isso, leve em conta que os termos $ a_2,a_3,\dots,a_{97} $ aparecem duas vezes, enquanto os termos $ a_1 $ e $ a_{98} $ aparecem apenas uma.

$ S=2(a_2+a_4+\dots+a_{98})-2(a_1+a_3+\dots+a_{97})-a_{98}+a_1. (*) $

Mas a gente sabe que $ a_1,a_3,\dots,a_{97} $ são em alguma ordem $ 1,2,3,\dots,49 $ enquanto $ a_2,a_4,\dots,a_{98} $ são em alguma ordem $ 50,51,52,\dots,98 $. Com isso,

$ a_1+a_3+\dots+a_{97}=1+2+\dots+49=\frac{(1+49).49}{2}=1225 $

e

$ a_2+a_4+\dots+a_{98}=50+51+\dots+98=\frac{(50+98).49}{2}=3626. $

Se voltarmos a $ (*) $:

$ S=2.3626-2.1225-a_{98}+a_1=4802-a_{98}+a_1. (**) $

Como podemos escolher $ a_1 $ e $ a_{98} $? Observe que estes números possuem somente um vizinho. Existe algum número entre $ 1 $ e $ 98 $ que precisa possuir somente um vizinho? Sim: $ 49 $ só pode ser vizinho do $ 98 $ e $ 50 $ só pode ser vizinho do $ 1 $ (já que as diferenças devem ser, em módulo, maior que $ 48 $). Além disso, $ a_1 $ é pequeno e $ a_{98} $ grande. Com isso, $ a_1=49 $ e $ a_{98}=50 $.

Se voltarmos a $ (**) $:

$ S=4801. $

Mas ainda parece que não sabemos muito sobre as diferenças $ |a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{97}-a_{98}| $. Vejamos o que acontece com as somas das diferenças $ |a_{i-1}-a_i|+|a_i-a_{i+1}| $ para $ i=2,3,\dots,97 $. Qual o menor valor possível que elas podem assumir? Será que dá para fazer $ |a_{i-1}-a_i|=|a_i-a_{i+1}|=49(***) $? Para vermos isto, vamos calcular cada um dos lados desta igualdade. Observe que $ a_i $ é maior (ou menor) que ambos $ a_{i-1} $ e $ a_{i+1} $ ao mesmo tempo. Em qualquer caso, a primeira parte de $ (***) $ se reescreve como

$ a_{i-1}-a_i=-(a_i-a_{i-1}) \Leftrightarrow a_{i-1}=a_{i+1}. $

Isto não pode acontecer. Logo,

$ |a_{i-1}-a_i|+|a_i-a_{i+1}| \geq 49+49+1 = 99. $

Desta forma,

$ S \geq 99+\dots+99+49 = 4801. $

Mas $ S=4801 $. Desta forma, $ |a_{i-1}-a_i|+|a_i-a_{i+1}|=99 $ para todo $ i=2,3,\dots,96 $ e $ |a_{97}-a_{98}|=49 $.

Como o único vizinho de $ a_1=49 $ é $ a_2=98 $, segue que $ |a_1-a_2|=|49-98|=49 $ e assim, as diferenças $ |a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{97}-a_{98}| $ são $ 49,50,49,50,\dots,49 $, respectivamente.

Com isso,

$ a_3=98-50=48, $

$ a_4=48+49=97, $

$ a_5=97-50=47, $

e assim por diante. Portanto, a sequência $ a_1,a_2,\dots,a_{98} $ é $ 49,98,48,97,47,\dots,2,51,1,50 $. A outra sequência (em que $ a_1 $ é grande) é análogo. Portanto, existem duas sequências satisfazendo as condições do enunciado.

Desigualdades ImportantesEditar