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Exemplo (OBM 2001 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Obm2001q3

Dado um inteiro positivo $ h $ demonstre que existe um número finito de triângulos de lados inteiros $ a $, $ b $ e $ c $ e altura relativa ao lado $ c $ igual a $ h $.

Solução:

OBM2001p2

Consideremos $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ os vértices e $ m $ e $ n $ as medidas conforme a figura. Observe que, se tivermos os valores de $ h $, $ m $ e $ n $, podemos determinar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $. Com isso, se provarmos que existe uma quantidade finita de valores que $ m $ e $ n $ podem assumir, resolvermos o problema (pois aí existe uma quantidade finita de valores para $ a $, $ b $ e $ c $).

A estratégia será a seguinte: provaremos $ m $ e $ n $ são inteiros e limitados por algum valor. Disto segue que existe uma quantidade finita deles.

Comecemos mostrando que $ m $ e $ n $ são limitados. Se aplicarmos o teorema de Pitágoras nos triângulos $ CBD $ e $ CDA $,

$ a^2=h^2+m^2 (*) $

$ b^2=h^2+n^2 (**) $.

Vamos mexer com a igualdade $ a^2=h^2+m^2 $, pois a equação $ b^2=h^2+n^2 $ é análoga. A partir da primeira equação, podemos encontrar uma desigualdade envolvendo $ h $ e $ m $? O que sabemos sobre triângulos retângulos? Que a hipotenusa é maior que o cateto, isto é, $ a>m $. Porém, como $ a $ e $ m $ são inteiros, conseguimos dar algo mais preciso: $ a\geq m+1 $. Se elevarmos ambos os lados ao quadrado e usarmos que $ a^2-m^2=h^2 $:

$ a \geq m+1 \Leftrightarrow a^2 \geq (m+1)^2 \Leftrightarrow a^2-m^2 \geq 2m+1 \Leftrightarrow h^2 \geq 2m+1 \Leftrightarrow m \leq \frac{h^2-1}{2}. $

Analogamente, $ n \leq \frac{h^2-1}{2} $. Resta provarmos que $ m $ e $ n $ são inteiros. Como $ n=c-m $, se mostrarmos que $ m $ é inteiro, $ n $ também será.

Observe que $ a^2=h^2+m^2 $, de onde segue que $ m=\sqrt{a^2-h^2} $. Assim, $ m $ é inteiro ou irracional. Provaremos que $ m $ não pode ser irracional. Vamos encontrar uma igualdade que envolva $ a $, $ b $, $ c $ e $ m $. Se subtrairmos $ (**) $ de $ (*) $:

$ a^2-b^2=m^2-n^2 $

Se fizermos $ n=c-m $ nesta igualdade, obteremos $ m=\frac{a^2-b^2+c^2}{2}. $ De onde segue que m é racional. Logo, $ m $ é inteiro e assim $ n $ também é.