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Sejam a e b inteiros. Dizemos que a é divisor de b (ou que a divide b) quando existe um inteiro c tal que ac=b. Neste caso, escreveremos a|b. Caso contrário, escrevemos a \not| b.

Na definição acima, podemos dizer que a é um fator de b.

ExemploEditar

Se n for um quadrado perfeito, prove que \sqrt{n}|n.

Solução:

Basta encontrarmos um c inteiro tal que \sqrt{n}.c=n. Neste caso, c=\sqrt{n}.

PropriedadesEditar

(i) 0|a \Leftrightarrow a=0.

(ii) Para todo a inteiro, vale que 0|a.

(iii) Para todo a inteiro, vale que 1|a.

(iv) Se a|b e a|c, então a|(b+c).

(v) Se a|b e a|c, então a|(b-c).

(vi) Se a|b e c|d, então ac|bd.

(vii) Sejam a e b inteiros, com a não nulo. Então a|b se, e somente se, \frac{b}{a}|a.

(viii) (Lema de Euclides) Se \operatorname {mdc}(a,b)=1 e a|bc, então a|c.

(ix) Se \operatorname{mdc}(a,b)=1, a|c e b|c, então ab|c.

(x) Sejam a e b inteiros, com b diferente de zero. Se a|b, então |a| \leq |b|.

ExemploEditar

Encontre um número de 6 dígitos que ao ser multiplicado por 6, os 3 primeiros dígitos se transformam nos 3 últimos e vice-versa.

Solução: Seja N o número que queremos determinar. Vamos escrevê-lo na forma N=1000A+B, onde A e B são números de três algarismos. Segundo o enunciado,

6(1000A+B)=1000B+A \Leftrightarrow 5999A=994B \Leftrightarrow 857A=142B.

Por definição de divisibilidade, 857|142B. Porém como \operatorname{mdc}(857,142)=1
, de onde segue que 857|B. Já que B tem três algarismos, segue que B=857 e assim A=142. Portanto, N=142857.

ProposiçãoEditar

Se a e b são inteiros e p um número primo, então p|ab \Rightarrow p|a \text{ ou } p|b

CorolárioEditar

Se a é inteiro e p é um número primo, então p|x^2 \Rightarrow p|x

Páginas RelacionadasEditar

Teorema Fundamental da Aritmética

Aritmética Modular

Referências BibliográficasEditar

[1] E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.

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