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A equação de Pell é da forma

$ x^2-Dy^2=N, $

onde $ N $ e $ D $ são inteiros e $ D>0 $ não é um quadrado perfeito.

Caso Particular: $ N = 1 $Editar

Vamos começar focando no caso em que $ N=1 $, ou seja, na equação:

$ x^2-Dy^2=1. $

Definição: Se $ (x_1,y_1) $ é uma solução tal que $ x_1+y_1\sqrt{D} $ é maior que $ 1 $, porém o menor possível, então ela é chamada de solução fundamental.

Observação: Se a equação de Pell para o caso $ N=1 $ possui uma solução, então ela tem uma solução fundamental.

Proposição: Se $ (x_1,y_1) $, então todas as soluções $ (x_n,y_n) $ são tais que $ x_n+y_n\sqrt{D}=(x_1-y_1\sqrt{D})^n $.

Em outras palavras, este caso particular tem infinitas soluções. Quando quisermos mostrar que uma equação possui infinitas soluções, uma estratégia é transformarmos em uma equação de Pell.

Exemplo (Cone Sul 1997) Editar

Demonstrar que existem infinitos inteiros $ (a,b,c) $, com $ a,b,c $ naturais, que satisfazem a relação:

$ 2a^2+3b^2-5c^2=1997. $

Solução: A estratégia aqui será deixar a equação do enunciado na forma $ x^2-Dy^2=1 $. Ao fazermos isto, como esta equação possui infinitas soluções, a do enunciado também irá possuir. Mas como faremos isto se a equação de Pell possui duas incógnitas e a do enunciado possui três?

Daremos um valor particular para $ a $, para termos uma equação com duas incógnitas. Se mostrarmos que esta equação nova possui infinitas soluções, a antiga também irá possuir.

$ 3b^2-5c^2=1997-2a^2. $

Seria legal se fizéssemos substituições de tal forma que pudéssemos dividir ambos os lados da igualdade para obtermos $ 1 $ no lado direito da igualdade. Além disso, precisamos que depois dessa divisão o coeficiente do $ b $ (ou do $ c $) fosse igual a $ 1 $. E é interessante também que o lado direito da igualdade seja pequeno (para facilitar as nossas contas). Ele é o menor possível quando $ a=31 $. Para este valor de $ a $, nossa equação se torna:

$ 3b^2-5c^2=75. $

E como fazer essa igualdade virar uma equação de Pell? Devemos fazer com que os coeficientes de $ b^2 $ e $ c^2 $ sejam múltiplos de $ 75 $. Para isso, podemos fazer $ b=5x $ e $ c=15y $. Desta maneira, a nossa equação se torna:

$ 75x^2-15.75y^2=75 \Leftrightarrow x^2-15y^2=1. $

Como esta é equação de Pell, ela possui infinitas soluções, de onde segue que a equação do enunciado também possui infinitas.

Caso GeralEditar

A equação $ x^2-Dy^2=N, $ não tem necessariamente uma solução. Mas se ela tem uma solução, então tem infinitas.

BibliografiaEditar

  • E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.