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Uma equação diofantina, em matemática, é uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas valores inteiros.

O termo diofantina se refere ao matemático Diofanto de Alexandria, que viveu no século III; ele foi o primeiro a estudar tais tipos de equações.

Na maioria dos casos, as equações diofantinas são insolúveis, fato este que foi demonstrado em meados do século XX, nas tentativas de resolução do Décimo Problema de Hilbert (que propõe a demonstração da solubilidade das equações diofantinas nos inteiros).

Equações diofantinas linearesEditar

Trata-se de qualquer equação linear de 1º grau com coeficientes inteiros, isto é, a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b com a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{Z}, tal que haja soluções (x_1,x_2,\cdots,x_n) nos inteiros.

Com duas variáveisEditar

Este é o tipo mais conhecido de equações diofantinas lineares, na verdade o mais conhecido dentre todas as equações diofantinas. Basicamente, é toda equação da forma ax+by=c com coeficientes inteiros (ou seja, a,b,c\in\mathbb{Z}). x e y são incógnitas.

De acordo com a Relação de Bézout, uma equação diofantina linear ax+by=c possui solução se mdc(a,b)|c. De fato, pela identidade de Bézout am+bn=mdc(a,b), multiplicando tudo por p temos a(pm)+b(pn)=p\cdot mdc(a,b). Ou seja, se c=p\cdot mdc(a,b), então o par (x,y)=(pm,pn) é uma solução da equação diofantina.

A resolução de uma equação diofantina linear é realizada da seguinte forma: primeiramente, utiliza-se o Algoritmo de Euclides para calcular mdc(a,b). Feito isso, deve-se partir para a versão estendida do Algoritmo de Euclides, que consiste em encontrar um par de números inteiros (m,n) que satisfaça a Relação de Bézout. A partir daí, é encontrada a chamada solução particular da equação, que é (x_0,y_0)=(pm,pn). Partindo da solução particular, podemos encontrar a solução geral, que é definida por \begin{cases}x=x_0+bt\\ y=y_0-at\end{cases},\ t\in\mathbb{Z}.

Exemplo: Resolver a equação diofantina 3x+5y=101.

Solução: Inicialmente, calculemos o MDC de 3 e 5. Temos que 5=3\cdot1+2\ \rightarrow\ 3=2\cdot1+1\ \rightarrow\ mdc(3,5)=1. Como 1|101, a equação possui solução. Temos que 1=3-1\cdot2 da segunda divisão, da primeira obtemos 2=5-3, de onde segue que 1=3-1\cdot(5-3)\ \rightarrow\ 1=3\cdot2+5\cdot(-1). Multiplicando por 101, obtemos 101=3\cdot202+5\cdot(-101), logo a solução particular é x_0=202 e y_0=-101. Portanto, a solução real é x=202+5t e y=-101-3t.

Ou seja, nos inteiros as equações diofantinas lineares com 2 variáveis, quando possuem soluções, são infinitas soluções. Em algumas possibilidades de problemas (seguindo o exemplo dado acima: e se quiséssemos dividir 101 elementos em conjuntos de 3 e de 5 elementos?), podemos restringir as soluções aos números naturais, o que pode limitar a quantidade de possíveis soluções, ou até mesmo fazer com que não haja solução.

Com três ou mais variáveisEditar

As equações diofantinas lineares com três ou mais variáveis, nos inteiros, possuem sempre infinitas soluções. Quase sempre, não há fórmulas que permitam resolver esses tipos de equações; analogamente ao caso de duas variáveis, a solução existe quando mdc(a_1,a_2,\cdots,a_n)|b. No geral a solução possível é escrever uma das incógnitas em função das demais. Nos naturais, contudo, a quantidade de soluções pode ser restringida.

Esse tipo de equação pode aparecer em alguns problemas, inclusive alguns que nem pedem a solução, mas, por exemplo, quantas soluções existem. Exemplo: Três amigos, Arnaldo, Bernaldo e Cernaldo, possuem juntos 4 bolas de gude. Sabendo que é possível que algum deles não tenha nenhuma, quantas possibilidades existem para essas quantidades? A resposta pode ser formulada com o método das bolas e divisórias (também conhecido como método pau-bola): basta permutar as 4 unidades com 2 divisórias (que delimitam 3 espaços), obtendo que são \dfrac{6!}{4!\cdot2!}=\dfrac{6\cdot5}{2}=15 soluções.

O caso deste problema se trata de uma equação diofantina com todos os coeficientes iguais a 1 e quando b\in\mathbb{N}, cuja forma geral é x_1+x_2+\cdots+x_n=b (a equação do problema é x+y+z=4). Uma equação diofantina linear dessa forma possui \dfrac{(b+n-1)!}{b!\cdot(n-1)!} soluções naturais.

Equações diofantinas não-linearesEditar

São as equações diofantinas que possuem pelo menos um termo de grau superior a 1 (por exemplo, x^2+y^3=3, onde o grau da incógnita x é 2 e o da incógnita y é 3). Também existem equações diofantinas em que uma ou mais incógnitas aparecem como expoentes, por exemplo, 2^x+5=y^2 (são as chamadas equações diofantinas exponenciais). A maioria dessas equações não possui soluções.

As soluções de uma equação diofantina não-linear, geralmente, podem ser encontradas utilizando aritmética modular e até mesmo algumas ideias de números complexos. Existem alguns casos particulares que podem ser resolvidos com facilidade, um exemplo é a diferença de dois quadrados, que é x^2-y^2=n, pois x^2-y^2=(x+y)(x-y) e, assim, (x+y)(x-y)=n. Dependendo do valor de n, podem existir ou não soluções; e, também dependendo do valor de n e das suas possíveis decomposições em dois fatores, a resolução pode ser rápida ou muito demorada.

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