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Na resolução de equações:

  • Condições de Existência: Determine quais são os valores que estão bem definidos (ou seja, em que não vão dar raízes negativas, divisões por zero etc.)
  • Veja as soluções satisfazem as condições de existência.

Exemplo (IMO 1959) Editar

Para quaisquer valores reais de $ x $

$ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A $

dados

(a) $ A=\sqrt{2} $

(b) $ A=1 $

(c) $ A=2, $

onde apenas números reais não negativos possuem raízes quadradas.

Solução: Vamos determinar os valores de $ x $ para os quais o lado esquerdo da igualdade é um número real. Como aparece $ \sqrt{2x-1} $, precisamos que $ 2x-1 \geq 0 $, isto é, $ x \geq \frac{1}{2} $. E quanto ao fato de que aparece $ \sqrt{x-\sqrt{2x-1}} $? Isto vai existir para todo $ x $. De fato,

$ x-\sqrt{2x-1} \geq 0 \Leftrightarrow x^2-2x+1 \geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 \geq 0. $

Além disso, $ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}} $ sempre existe. Logo, o lado esquerdo da igualdade existe se, e somente se, $ x \geq \frac{1}{2} $.

Vamos mexer na equação do enunciado. Se elevarmos ambos os lados ao quadrado:

$ (\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}})^2=A^2 \Leftrightarrow 2(x+\sqrt{x^2-2x+1})=A^2 \Leftrightarrow $


$ \Leftrightarrow x+|x-1|=\frac{A^2}{2}. (*) $

Observe que

$ |x-1|={\begin{cases}x-1,&{\mbox{se }}x\geq 1\\-(x-1),&{\mbox{se }}x<1.\end{cases}} $

(i) Se $ x<1 $, então $ (*) $ se transforma em

$ x-(x-1)=\frac{A^2}{2} \Leftrightarrow A=\pm \sqrt{2}. $

(ii) Se $ x \geq 1 $, $ (*) $ se transforma em

$ 2x-1=\frac{A^2}{2}. $

Agora sim fica mais fácil de resolvermos cada item.

(a) Para todo $ x<1 $, isto é verdade. E quanto ao caso em que $ x \geq 1 $? Aqui

$ 2x-1=\frac{(\sqrt{2})^2}{2} \Leftrightarrow x=1. $

Logo, o conjunto solução deste item é

$ S=\{x \in \mathbb{R} : \frac{1}{2} \leq x \leq 1\}. $

(b) Não existe solução se $ x<1 $. Já se $ x \geq 1 $

$ 2x-1=\frac{1^2}{2} \Leftrightarrow x=\frac{3}{4}. $

Mas isto não pode ser considerado solução, pois $ \frac{3}{4}<1 $. Desta forma, $ S=\varnothing $.

(c) Da mesma forma, pode-se descobrir que $ S=\{\frac{3}{2}\} $.