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São equações em que você precisa encontrar quais são as funções que a satisfazem.

Ao terminarmos de resolver uma equação funcional, pode ser que apareceu uma função extra que não seja solução. Por isso, lembre-se de testar todas as soluções que você encontrar.

Exemplo (Cone Sul 1998)Editar

Determine todas as funções $ f $ tais que

$ f(x^2)-f(y^2)+2x+1=f(x+y).f(x-y) $

para quaisquer que sejam os números reais $ x,y $.

Solução: Um dos problemas desta igualdade é que a função $ f $ aparece quatro vezes nesta igualdade. Se fizermos $ x=y $, duas delas se cancelarão, deixando o enunciado mais simples:

$ f(x^2)-f(x^2)+2x+1=f(x+x).f(x-x) \Leftrightarrow f(2x).f(0)=2x+1. (*) $

E quanto a $ f(0) $? Para descobrirmos, façamos $ x=0 $ em $ (*) $:

$ f(0)^2=1 \Leftrightarrow f(0)= \pm 1. $

Se voltarmos a $ (*) $:

$ f(2x)=\pm (2x+1). $

Desta forma,

$ f(x)=\pm (x+1). $

Qual destas soluções é verdadeira? Basta testarmos. Apenas $ f(x)=x+1 $ satisfaz a igualdade do enunciado. Logo, ela é a única solução.