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Estas são equações da forma $ ax^2+bx+c=0 $, onde $ a $,$ b $ e $ c $ são números reais e $ a $ é diferente de zero. Elas também são chamadas de equações quadráticas.

As soluções de uma equação do 2º são da forma:

$ x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

$ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

Estas também podem ser chamadas de raízes.

Discriminante e o número de soluçõesEditar

O discriminante da equação $ ax^2+bx+c=0 $ é definido por $ \Delta=b^2-4ac $, onde $ \Delta $ é a letra grega delta maiúsculo.

  • Se $ \Delta<0 $, a equação possui duas soluções complexas e conjugadas.
  • Se $ \Delta=0 $, a equação possui soluções iguais.
  • Se $ \Delta>0 $, a equação possui duas soluções reais distintas.

Soma e Produto das raízes de uma equação do 2º grauEditar

A soma das raízes de uma equação do primeiro grau é $ -\frac{b}{a} $. Já o produto é igual a $ \frac{c}{a} $.

Exemplo (OBM 2009 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Resolva, em números reais, o sistema

$ x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x} $

$ xyz=1 $.

Solução: Procuremos escrever uma das variáveis em função da outra. Comecemos mexendo com

$ x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z} $.

O problema dela aqui é que temos três incógnitas. Seria legal se alguma delas fosse substituída em função das outras duas. Melhor ainda, se alguma dessas frações sumisse. Vamos substituir o $ \frac{1}{z} $. Como? Sabemos que $ xyz=1 $. Desta forma, $ \frac{1}{z}=xy $ e assim

$ x+\frac{1}{y}=y+xy \Leftrightarrow y^2(x+1)-xy-1=0 $.

Se aplicarmos a fórmula da equação quadrática teremos duas raízes:

$ y_1=1 $ e $ y_2=\frac{-1}{x+1} $.

Vamos analisar cada caso:

1º Caso: $ y=1 $

Vamos substituir esse valor nas equações do enunciado e ver o que podemos concluir. Comecemos com a parte que ainda não usamos.

$ 1+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x} $.

Se conseguirmos escrever $ \frac{1}{x} $ em função de $ z $, teremos uma equação apenas com $ z $ e assim poderemos terminar a nossa conta. Pela outra equação do enunciado:

$ xz=1 \Leftrightarrow z=\frac{1}{x} $.

Com isso,

$ 1+\frac{1}{z}=z+z \Leftrightarrow 2z^2-z-1=0 $.

Isto nos dá dois valores para z:

$ z_1=1 $ e $ z_2=-\frac{1}{2} $,

o que nos dá $ x_1=1 $ e $ x_2=-2 $. Assim as soluções deste caso são $ (1,1,1) $ e $ (-2,1,\frac{1}{2}) $.

2º Caso: $ y=\frac{-1}{x+1} $

Se substituirmos na última equação do enunciado:

$ x(\frac{-1}{x+1})z=1 \Leftrightarrow z=-(\frac{x+1}{x}) $.

Porém, observe que $ y=\frac{-1}{x+1} $ e $ z=-(\frac{x+1}{x}) $ satisfazem todas as igualdades do enunciado. Logo, $ (a,\frac{-1}{a+1},-(\frac{a+1}{a})) $ é solução para todo $ a $ real diferente de $ 0 $ e de $ 1 $.

BibliografiaEditar

  • D. Djukic, V. Jankovic, I. Matic, N. Petrovic : The IMO Compendium 1959-2009, Springer, 2011.