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Estas são equações da forma ax^2+bx+c=0, onde a,b e c são números reais e a é diferente de zero. Elas também são chamadas de equações quadráticas.

As soluções de uma equação do 2º são da forma:

x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Estas também podem ser chamadas de raízes.

Discriminante e o número de soluçõesEditar

O discriminante da equação ax^2+bx+c=0 é definido por \Delta=b^2-4ac, onde \Delta é a letra grega delta maiúsculo.

  • Se \Delta<0, a equação possui duas soluções complexas e conjugadas.
  • Se \Delta=0, a equação possui soluções iguais.
  • Se \Delta>0, a equação possui duas soluções reais distintas.

Soma e Produto das raízes de uma equação do 2º grauEditar

A soma das raízes de uma equação do primeiro grau é -\frac{b}{a}. Já o produto é igual a \frac{c}{a}.

Exemplo (OBM 2009 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Resolva, em números reais, o sistema

x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}

xyz=1.

Solução: Procuremos escrever uma das variáveis em função da outra. Comecemos mexendo com

x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}.

O problema dela aqui é que temos três incógnitas. Seria legal se alguma delas fosse substituída em função das outras duas. Melhor ainda, se alguma dessas frações sumisse. Vamos substituir o \frac{1}{z}. Como? Sabemos que xyz=1. Desta forma, \frac{1}{z}=xy e assim

x+\frac{1}{y}=y+xy \Leftrightarrow y^2(x+1)-xy-1=0.

Se aplicarmos a fórmula da equação quadrática teremos duas raízes:

y_1=1 e y_2=\frac{-1}{x+1}.

Vamos analisar cada caso:

1º Caso: y=1

Vamos substituir esse valor nas equações do enunciado e ver o que podemos concluir. Comecemos com a parte que ainda não usamos.

1+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}.

Se conseguirmos escrever \frac{1}{x} em função de z, teremos uma equação apenas com z e assim poderemos terminar a nossa conta. Pela outra equação do enunciado:

xz=1 \Leftrightarrow z=\frac{1}{x}.

Com isso,

1+\frac{1}{z}=z+z \Leftrightarrow 2z^2-z-1=0.

Isto nos dá dois valores para z:

z_1=1 e z_2=-\frac{1}{2},

o que nos dá x_1=1 e x_2=-2 . Assim as soluções deste caso são (1,1,1) e (-2,1,\frac{1}{2}).

2º Caso: y=\frac{-1}{x+1}

Se substituirmos na última equação do enunciado:

x(\frac{-1}{x+1})z=1 \Leftrightarrow z=-(\frac{x+1}{x}).

Porém, observe que y=\frac{-1}{x+1} e z=-(\frac{x+1}{x}) satisfazem todas as igualdades do enunciado. Logo, (a,\frac{-1}{a+1},-(\frac{a+1}{a})) é solução para todo a real diferente de 0 e de 1.

BibliografiaEditar

[1] D. Djukic, V. Jankovic, I. Matic, N. Petrovic : The IMO Compendium 1959-2009, Springer, 2011.