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$ e^{i\theta}=\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta $.

Consequências:

$ \cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} $.

Identidade de EulerEditar

$ e^{i\pi}+1=0 $.

Exemplo (Proposto para IMO 1991)Editar

Mostre que os zeros de $ x^8-92x^6+134x^4-28x^2+1 $ são

$ \operatorname{tg}(\frac{r\pi}{15}), 1 \leq r <15 $

com $ \operatorname{mdc}(r,15)=1 $.

Solução: Será legal a gente fazer $ \operatorname{tg}(\frac{r\pi}{15}), 1 \leq r <15 $ aparecer em alguma expressão que envolva potências. Como podemos fazer isto? Com a fórmula de Euler podemos envolver alguma potência de $ \operatorname{tg}(\theta) $.

Uma boa maneira de fazermos isto é encontrarmos algum $ \operatorname{tg}(n\theta) $ que funciona bem para algum $ n $. Qual é o bom $ n $ para se escolher?

Sabemos que tangentes de números que possuem algum múltiplo de $ \pi $ no numerador e $ 3 $ no denominador são conhecidas. Que tal explorarmos o valor de $ \operatorname{tg}(5\theta) $ para $ \theta =\frac{r\pi}{15} $ com $ \operatorname{mdc}(r,15)=1 $? Observe que em todos estes casos $ \operatorname{tg}(5\theta)=\pm \sqrt{3} $ e com isso, $ \operatorname{tg}^2(5\theta)=3 $.

E como a gente faz aparecer a Fórmula de Euler aí? Observe que $ \operatorname{tg}(5\theta)=\frac{\operatorname{sen}5\theta}{\cos 5\theta} $, $ \operatorname{sen}5\theta= \operatorname{Im}(e^{i5\theta}) $ e $ \cos 5\theta= \operatorname{Re}(e^{i5\theta}) $. Assim,

$ \operatorname{tg}(5\theta)=\frac{\operatorname{Im}(e^{i5\theta})}{\operatorname{Re}(e^{i5\theta})}=\frac{\operatorname{Im}((e^{i\theta})^5)}{\operatorname{Re}((e^{i\theta})^5)}=\frac{\operatorname{Im}((\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta)^5)}{\operatorname{Re}((\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta)^5)} $.

E para fazermos aparecer $ \operatorname{tg}\theta $? Basta dividirmos em cima e embaixo por $ \cos^5\theta $. Desta forma,

$ \operatorname{tg}(5\theta)=\frac{\operatorname{Im}((1+i \operatorname{tg} \theta)^5)}{\operatorname{Re}((1+i \operatorname{tg} \theta)^5)} $.

Se usarmos que $ \operatorname{tg}^2(5\theta)=3 $ e fizermos $ x=\operatorname{tg}\theta $, então

$ 3=(\frac{\operatorname{Im}((1+i x)^5)}{\operatorname{Re}((1+i x)^5)})^2 $.

E quanto a $ \operatorname{Im}((1+i x)^5) $ e $ \operatorname{Re}((1+i x)^5) $. Note que, pelo Binômio de Newton,

$ (1+i x)^5=(1-10x^2+5x^4)+i(5x-10x^3+x^5) $.

Assim,

$ \operatorname{Im}((1+i x)^5)=5x-10x^3+x^5 $

$ \operatorname{Re}((1+i x)^5)=1-10x^2+5x^4 $.

De onde segue que

$ (\frac{5x-10x^3+x^5}{1-10x^2+5x^4})^2=3 $.

Se "abrirmos" a expresão acima:

$ x^10-95x^8+410x^6-430x^4+85x^2-3=0 $.

E agora, como faremos para chegar na expressão do enunciado. Faça as contas de trás para frente e você descobrirá que devemos dividir os dois lados da igualdade por $ x^2-3 $. Feito isto, teremos

$ x^8-92x^6+134x^4-28x^2+1=0 $.

Que é o que queremos.

BibliografiaEditar

  • E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.