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Se n é um inteiro positivo, então

n!=n(n-1)\dots 2.1.

Por convenção, 0!=1. Se decompormos n! como o produto de primos, existe alguma maneira de determinarmos os expoentes?

Fórmula de Polignac (ou Teorema de Legendre)Editar

Vamos considerar aqui e_p(x) o expoente de p na fatoração em primos de x. Então

e_p(n!)={\displaystyle \sum _{r \geq 1}\lfloor \frac{n}{p^r}\rfloor}.

ObservaçõesEditar

(i) a|b se, e somente se, e_p(a) \leq e_p(b) para todo primo p.

(ii) e_p(ab)=e_p(a)+e_p(b).

(iii)Se b|a, então e_p(\frac{a}{b})=e_p(a)-e_p(b).

(iv)e_p(\operatorname{mdc}(a,b))=\operatorname{min}\{e_p(a),e_p(b)\}

(v)e_p(\operatorname{mmc}(a,b))=\operatorname{max}\{e_p(a),e_p(b)\}

Referências BibliográficasEditar

[1] E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.

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