FANDOM


Seja n um número natural. Então \varphi(n) representa a quantidade de inteiros k menores ou iguais a n tais que \operatorname{mdc} (n,k)=1.

ProposiçãoEditar

Se n=p^k, onde p é primo e k é inteiro positivo, então \varphi(n)=p^k-p^{k-1}.

Prova: Calcularemos a quantidade de números que são menores que n e que não são primos com ele. De fato, um número não é primo com p^k se, e somente se, ele for múltiplo de p. Observe ainda que os múltiplos de p menores ou iguais a p^k são p,p^2,p^3,...,p^k, ou seja, existem p^{k-1}. Com isso, a quantidade de primos menores que n e primos com ele é p^k-p^{k-1}.

ProposiçãoEditar

Se \operatorname{mdc}(m,n)=1, então \varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n). Em outras palavras, \varphi é uma função multiplicativa.

ProposiçãoEditar

Se n=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k} é a fatoração em primos de n, então

\varphi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots(1-\frac{1}{p_k}).

Referências BibliográficasEditar

[1] E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996. E

Interferência de bloqueador de anúncios detectada!


A Wikia é um site grátis que ganha dinheiro com publicidade. Nós temos uma experiência modificada para leitores usando bloqueadores de anúncios

A Wikia não é acessível se você fez outras modificações. Remova o bloqueador de anúncios personalizado para que a página carregue como esperado.