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É geometria que estuda objetos de três dimensões.

Paralelepípedos Editar

Se um paralelepípedo possui dimensões $ a $, $ b $ e $ c $, então o seu volume é igual a $ abc $.

Já a área total será $ 2(ab+bc+ca) $.

Exemplo (Cone Sul 1989)Editar

Mostre que se reduzirmos as dimensões de um paralelepípedo, não conseguimos obter outro paralelepípedo com a metade do volume e metade da área total.

Solução: Suponha, por absurdo, que seja possível, isto é, existem dois paralelepípedos, um com dimensões $ a $, $ b $ e $ c $ e o outro com $ a' $, $ b' $ e $ c' $, tais que $ a \geq a' $, $ b \geq b' $ e $ c \geq c' $.

$ abc=2a'b'c' (*) $

$ ab+bc+ca=a'b'+b'c'+c'a' (**) $.

Se dividirmos $ (**) $ por $ (*) $:

$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a'}+\frac{1}{b'}+\frac{1}{c'} $.

Por outro lado,

$ a \leq a' \Rightarrow \frac{1}{a} \geq \frac{1}{a'} $

$ b \leq b' \Rightarrow \frac{1}{b} \geq \frac{1}{b'} $

$ c \leq c' \Rightarrow \frac{1}{c} \geq \frac{1}{c'} $,

de onde segue que

$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{1}{a'}+\frac{1}{b'}+\frac{1}{c'} $.

Como $ a \geq a' $, $ b \geq b' $ e $ c \geq c' $, se algum destes lados não coincidir, a igualdade acima não pode ocorrer. Logo, $ a = a' $, $ b = b' $ e $ c = c' $.