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Incentro é o centro da circunferência inscrita a um triângulo.

Proposição Editar

O incentro é equidistante aos lados. Essa distância é igual a medida do raio da circunferência inscrita.

ProposiçãoEditar

As três bissetrizes de um triângulo se encontram no incentro.

ObservaçãoEditar

Os pontos de tangência são as projeções do incentro nos lados do triângulo. Você ainda pode pensar neles como os pés das bissetrizes relativas ao vértice oposto.

Exemplo (Cone Sul 2005) Editar

Seja $ ABC $ um triângulo isósceles, com $ AB=AC $. Uma reta $ r $ que passa pelo incentro $ I $ de $ ABC $ intersecta os lados $ AB $ e $ AC $ nos pontos $ D $ e $ E $, respectivamente. $ F $ e $ G $ são pontos sobre o lado $ BC $ tais que $ BF=CE $ e $ CG=BD $. Mostre que o ângulo $ \angle FIG $ é constante ao variar $ r $.

Solução: Basta calcularmos $ \angle FIG $ em função de coisas que são fixas no triângulo.

Já que ele nos deu o incentro e alguns pontos sobre os lados dos triângulos, é interessante procurarmos em lugares onde realmente consigamos extrair boas informações. No caso, é legal marcar alguns pontos de tangência, pois sabemos calcular alguns tamanhos envolvendo-os.

Vamos marcá-los: basta traçarmos as projeções do incentro nos lados. Sejam $ P $ e $ Q $ as projeções ortogonais de $ I $ sobre $ BC $ e $ AB $, respectivamente.

Como o triângulo $ ABC $ é isósceles e $ P $ o pé da bissetriz relativa ao vértice $ A $, segue que $ P $ é o ponto médio do lado $ BC $.

Desta forma, $ BQ=BP=PC $. Chamaremos a medida destes lados de $ a $. Além disso, $ BD=CG $ e esta medida nós chamaremos de $ b $.

Note que

$ DQ=QB-BD=b-a $

e

$ GP=PC-CG=b-a. $

Medidas iguais? Que tal procurar congruências? Como o incentro é equidistante aos lados, segue que $ IP=IQ $. Além disso, $ \angle GPI = \angle DQI = 90^{\circ} $. Logo, os triângulos $ IDQ $ e $ IGP $ são congruentes pelo caso $ HC $. Com isso, $ \angle ADE = \angle IDQ = \angle IGP $. Analogamente, $ \angle AED = \angle IFG $.

Desta forma, os triângulos $ ADE $ e $ IGF $ são semelhantes pelo caso $ AA $ e assim $ \angle FIG = \angle EAD = \angle BAC $. Como este último é fixo, segue que $ \angle FIG $ também é fixo.