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Indução matemática é um processo por meio do qual pode-se demonstrar a validade de uma proposição matemática nos números naturais.

Princípio da Indução FinitaEditar

DefiniçãoEditar

Seja P(n) uma propriedade dos números naturais. O Princípio da Indução Finita estabelece que: se as afirmações "P(1) é válida" e "se P(k) é válida então P(k+1) também é válida" são ambas verdadeiras, então P(n) é válida para qualquer n\ge1.

Usando o PIFEditar

A prova por indução consiste, basicamente, em três passos:

  • demonstrar que a proposição é válida para um n pequeno (geralmente se utiliza n=1, embora em alguns problemas pode não ser possível: nesse caso, o mais comum é utilizar o menor valor possível para n);
  • supor que seja válido para qualquer n=k;
  • a partir dessa suposição, demonstrar que, se a proposição vale para n=k, então também vale para n=k+1.

Veja que, se a afirmação for válida para n=1, e para n=k+1 caso seja para n=k, de fato será válida para todo número natural: se n=k=1 (caso em que já provamos a validade), então também será para n=k+1=2. Assim, por este processo, concluímos que a afirmação é válida para n=3, n=4, e assim por diante.

Exemplos e AplicaçõesEditar

A demonstração por indução matemática pode ser aplicada em diversos problemas, principalmente os referentes a álgebra e aritmética:

Exemplo 1: Demonstre que a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2.

Solução: Resolveremos por indução matemática. Inicialmente, note que o n-ésimo número ímpar é igual a 2n-1. Logo, a soma dos n primeros números ímpares é 1+3+5+\cdots+(2n-1). Para n=1, temos que a soma é 1=1^2, então a afirmação é válida. Supondo ser válido para n=k, segue que 1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2. E, para n=k+1, a soma dos n+1 primeiros números ímpares é 1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1); como 1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2, a soma dos k+1 primeiros números ímpares é k^2+2k+1=(k+1)^2. Assim, de fato, a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2.

Exemplo 2: Prove que (1+r)^n\ge1+r\cdot n para todo r>0.

Solução: Por indução matemática, começamos por n=1, para o qual temos que (1+r)^1=1+r\cdot1\ge1+r\cdot1 (o que, de fato, está certo). Supondo ser verdadeiro para n=k, temos que (1+r)^k\ge1+rk. Para n=k+1, segue que (1+r)^{k+1}=(1+r)^k\cdot(1+r)\ge(1+rk)(1+r)=1+r+rk+r^2k=1+r(k+1)+r^2k>1+r(k+1), logo (1+r)^{k+1}\ge1+r(k+1). Portanto, é válido que (1+r)^n\ge1+r\cdot n para todo r>0.

Exemplo 3: Seja n um inteiro positivo. Para cada um dos inteiros n+1, n+2, \cdots, 2n considere o seu maior divisor ímpar. Prove que a soma de todos estes divisores é igual a n^2.

Solução: Inicialmente, vamos definir uma função f tal que f(n) seja o maior divisor ímpar de n. Para n=1, temos a soma S_1=f(2)=1 (veja que o maior divisor ímpar de 2 é 1). Supondo que a propriedade seja válida para n=k, temos que f(k+1)+f(k+2)+\cdots+f(2k)=k^2. Para n=k+1, temos S_{k+1}=f(k+2)+f(k+3)+\cdots+f(2k)+f(2k+1)+f(2k+2); note que 2k+2=2(k+1), logo f(2k+2)=f(k+1) (pois qualquer divisor ímpar de 2k+2 está entre os divisores ímpares de k+1). E, como 2k+1 é ímpar, f(2k+1)=2k+1. Assim, segue que S_{k+1}=f(k+2)+f(k+3)+\cdots+f(2k)+[2k+1]+f(k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2. Está, portanto, provado que a soma de todos os referidos divisores é igual a n^2.

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