FANDOM


Sabemos que dados $ n+1 $ complexos distintos, digamos $ a_0,a_1,\dots,a_n $ e outros $ n+1 $ complexos quaisquer (não necessariamente distintos) $ b_0,b_1,\dots,b_n $, existe um único polinômio de grau menor ou igual a $ n $ tal que $ P(a_i)=b_i $ para $ i=0,1,\dots,n $. O processo de construção deste polinômio é chamado de interpolação.

Interpolação de LagrangeEditar

Dados $ a_0,a_1,\dots,a_n $ complexos distintos e $ b_0,b_1,\dots,b_n $ complexos quaisquer, vamos encontrar um polinômio $ P $ de grau menor ou igual a $ n $ tal que $ P(a_j)=b_j $ para $ j=0,1,\dots,n $.

Para isto, vamos considerar as funções $ L_0,L_1,\dots,L_n $ dadas por

$ L_k(x)={\displaystyle \prod _{j \neq k}\frac{x-a_j}{a_k-a_j}.} $

Então $ P(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_kL_k(x)} $ cumpre as condições que queremos.

Prova: Basta notarmos que $ L_k(a_j)=1 $ se $ k=j $ e igual a $ 0 $, caso contrário.

BibliografiaEditar

  • E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.