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Exemplo (Cone Sul)Editar

Considere um tabuleiro m \times n. Em cada casa existe um inteiro não negativo assinalado. Uma operação consiste em escolher qualquer uma das duas casas com 1 lado em comum, e adicionar a estes 2 números o mesmo inteiro (ele pode ser negativo) de tal form aque os dois resultados sejam não negativos. Quais são as condições que devem ser satisfeitas inicialmente nos números assinalados das casos, de tal que forma que, depois de algumas operações, haverão 0 em todas as casas?

Solução:

Cada vez que somamos um inteiro em cada dos dois quadradinhos com lados em comum, alteramos o valor de uma casa na posição par e outra na posição ímpar. Podemos usar isto a nosso favor. Faremos o seguinte: pintaremos as casas do tabuleiro de preto e branco (conforme um tabuleiro de xadrez).

Desta forma, podemos entender cada operação como sendo somar um inteiro k em uma casa de cada cor. Queremos saber se podemos fazer a soma dos números das casas brancas e das casas pretas seja igual a 0.

Se fizermos as operações de trás para frente, de uma rodada para a anterior devemos subtrair o mesmo inteiro k, tanto da soma dos números das casas brancas quanto a das somas pretas. Com isso, no início, a soma dos números das casas brancas é o mesmo das pretas.

Resumo: já vimos que se pudermos zerar todas as casas, então a soma dos números das casas brancas é igual ao das casas pretas. Agora, se a soma das casas brancas for igual a soma das casas pretas, podemos zerar o tabuleiro? Sim! Como?

Vamos imaginar que temos o tabuleiro com a soma dos números brancos igual à dos números pretos. Para zerar o tabuleiro, comecemos com o seguinte: vamos zerar subtrair números na coluna da direita até que todos eles zerem (observe que também mexeremos na coluna que fica à esquerda dela). Repita este processo até que sobre duas colunas.

Faça o mesmo para as linhas até que sobre apenas uma só (sem ser zerada). Observe que sobrou um pedaço 2 \times 1 do tabuleiro. Um dos números estará em uma casa branca e o outro em uma casa preta. Como a soma da dos números casas brancas é igual à soma dos casas pretas, estes números são iguais. Logo, basta subtrairmos o mesmo número das duas casas para a zerarmos.

Portanto, podemos zerar todas as casas se, e somente se, a soma dos números das casas brancas é igual ao das casas pretas.

Exemplo (Cone Sul) Editar

Duas pessoas, A e B, jogam o seguinte jogo: A começa escolhendo um número inteiro positivo e então, cada jogador em seu turno diz um número conforme as seguintes regras:

Se o último número dito for ímpar, o jogador soma 7 a este número;

Se o último número dito for par, o jogador divide ele por 2.

O ganhador é o jogador que repete o primeiro número dito. Encontre todos os números que A pode escolher para ganhar. Justifique sua resposta.

Solução: O jogador A ganha se o número que ele escolheu na primeira vez aparecer em alguma posição ímpar (ou seja, ou na terceira, ou na quinta etc). Assim, os números que fazem A ganham aparecem de dois em dois. Se começarmos com um número "razoavelmente grande", ele diminui logo nas primeiras rodadas.

Consideraremos aqui x o número inicial. Vamos encontrar algum valor para x suficientemente grande, tal que se x for maior que este número, ele irá diminuir a cada duas rodadas. Por que encontrar isto é bom? Porque saberemos que se o primeiro termo for maior que este número, então ele nunca poderá subir (se estivermos olhando a cada duas rodadas), isto é, ele nunca vai voltar ao número original.

Como podemos olhar para as primeiras rodadas? Depende do valor de x. Existem três possibilidades:

1º Caso: x é ímpar.

Aqui, os primeiros números serão x, x+7, \frac{x+7}{2}. Ele diminui a cada duas rodadas se, e somente se,

x>\frac{x+7}{2} \Leftrightarrow x>7.

2º Caso: x é múltiplo de 4.

Aqui, os números que aparecerão depois de duas rodadas são x,\frac{x}{2}, \frac{x}{4}. Neste caso, x diminui a cada duas rodadas se, e somente se,

x>\frac{x}{4} \Leftrightarrow x>0.

3º Caso: x é par, mas não é múltiplo de 4.

Os primeiros termos serão x,\frac{x}{2},\frac{x}{2}+7. Aqui x diminuirá a cada duas rodadas se, e somente se,

x>\frac{x}{2}+7 \Leftrightarrow x>14

Desta forma, em qualquer um dos casos, se x>14, então ele nunca irá voltar ao número original nas posições ímpares. Por isso, devemos testar as soluções menores ou iguais a 14. As únicas em que A ganha são 1, 2, 4, 7, 8, 14.

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