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ConjunçãoEditar

Podemos representar "$ p $ e $ q $" por $ p \wedge q $.

DisjunçãoEditar

Podemos representar "$ p $ ou $ q $" por $ p \vee q $.

Negação Lógica Editar

Escrevermos a negação de $ P $ como sendo $ {\displaystyle {\mathord {\sim }}P} $ ou $ \neg P $.

Implicação LógicaEditar

Podemos escrever "se $ P $ então $ Q $" da seguinte maneira: $ P \Rightarrow Q $ (ou $ P \rightarrow Q $). Diremos aqui que $ P $ implica $ Q $.

Definiremos a recíproca de $ P \Rightarrow Q $ como $ Q \Rightarrow P $.

Observação Editar

Se $ P \Rightarrow Q $ não necessariamente podemos concluir que $ Q \Rightarrow P $.

Por exemplo, podemos dizer que "se ele é cachorro, então ele é um mamífero", mas não podemos dizer que "se ele é um mamífero, então ele é um cachorro". Afinal, existem outros mamíferos além dos cachorros: gatos, coelhos, humanos etc.

Equivalência Lógica Editar

Se $ P \Rightarrow Q $ e $ Q \Rightarrow P $, vamos dizer que $ P $ e $ Q $ são logicamente equivalentes. Escrevermos isso da seguinte maneira $ P \Leftrightarrow Q $.

Prova por Absurdo Editar

Ao invés de provarmos algo diretamente, começamos assumindo que a afirmação é falsa e mostrarmos que isto nos leva a uma afirmação absurda (ou a uma contradição). Chamaremos isto de prova por absurdo (ou prova por contradição).

Este tipo de argumento costuma ser útil quando queremos provar que algo não pode ocorrer, mas nada impede de usarmos ele para provarmos que algo afirmativo também.

Em geral, quando é interessante usarmos a prova por absurdo? Quando a negação do que queremos provar parece mais fácil de se mexer do que a afirmação original.

Exemplo Editar

Prove que se $ x^2 $ é par, então $ x $ é par.

Solução: Suponha, por absurdo, que $ x $ é ímpar. Então $ x^2 $ é ímpar. Contradição. Logo, $ x $ é par.

Exemplo Editar

Prove que $ \sqrt{2} $ é irracional.

Solução: Suponha, por absurdo, que $ \sqrt{2} $ seja racional. Com isso, existem $ a $ e $ b $ naturais tais que

$ \sqrt{2}=\frac{a}{b}. $

Tomemos $ a $ e $ b $ de forma que a fração seja irredutível. Observe que

$ \sqrt{2}=\frac{a}{b} \Leftrightarrow a=\sqrt{2}b \Leftrightarrow a^2=2b^2. (*) $

Desta forma, $ a^2 $ é par. Por um exemplo anterior, $ a $ é par e com isso, existe $ t $ inteiro tal que $ a=2t $. Se substituirmos em $ (*) $:

$ (2t)^2=2b^2 \Leftrightarrow b^2=2t^2. $ Mas isto contradiz o fato de que a fração é irredutível. Logo, $ \sqrt{2} $ é irracional.

Bibliografia Editar

  • P. Zeitz : The Art and Craft of Problem Solving, Wiley; International Student edition, 2006.