Lógica

A matemática precisa ser precisa. Para podermos mexer bem com ela, precisamos usar a lógica.

Existem vários tipos de lógica. A que focaremos aqui é a lógica bivalente.

Você não precisa ler este artigo para entender matemática. Mas ele pode te ajudar a entender melhor algumas coisas e resolver problemas.

Proposição (ou Sentença)

Uma proposição (ou sentença) é uma frase que:

(a) possui sujeito e predicado (incluindo o verbo);

(b) é afirmativa (e com isso não pode ser nem interrogativa e nem exclamativa);

(c) pode ser somente uma das seguintes coisas: verdadeira ou falsa.

Exemplos

Para que você possa entender melhor a definição veja os seguintes exemplos de expressões que são ou não proposições.

(1) "Silêncio"

Não pode ser uma proposição, pois não possui verbo.

(2) "Que horas são?"

Não pode ser uma proposição, pois é interrogativa.

(3) "Puxa!"

Não pode ser proposição, pois é exclamativa.

(4) "Dois somado com dois"

Não pode ser uma proposição, pois não pode ser julgada com verdadeira ou falsa.

(5) "$2 + 2 = 4$"

É uma proposição.

Observações

(1) Uma proposição não pode ser ambígua, ou seja, não pode ter mais de um significado diferente.

(2) O valor lógico de uma proposição é verdadeiro se ela for verdadeira e falso se ela for falsa.

(3) A frase $x+1=2$ não é uma proposição. Por que? Pense bem: dá para falar que se ela é verdadeira ou falsa? Não! De fato, ela é verdadeira para $x=1$, mas falsa para $x = 2$. Casos como esse, em que existe uma ou mais variáveis e não se diz mais nada sobre ela, dizemos que ela esta frase é uma sentença aberta (apesar de não ser uma sentença).

Negação Lógica

Escrevermos a negação de $p$ como sendo ${\displaystyle {\mathord {\sim }}p}$ ou $\neg p$.

Quando $\neg p$ é verdadeiro? Vejamos as seguintes afirmações para descobrir:

(1) "Brasil é um país".

Esta é uma afirmação verdadeira.

(2) "Brasil não é um país".

Esta é uma afirmação falsa.

(3) "Quadrados são redondos"

Esta é uma afirmação falsa.

(4) "Quadrados não são redondos".

Esta é uma afirmação verdadeira.

Podemos imaginar que $\neg p$ é uma afirmação verdadeira se, e somente se, $p$ é falsa. E de fato é isso que acontece.

Para vermos melhor isso, podemos usar uma tabela-verdade. Nela, usaremos a letra $V$ para falar que uma proposição é verdadeira e $F$ para dizer que ela é falsa.

$p$	$\neg p$
$V$	$F$
$F$	$V$

Conectivos Lógicos

São usados para conectar proposições. Quando temos duas ou mais proposições juntas com um conectivo, chamaremos ela de proposições compostas.

Duas proposições compostas são equivalentes quando possuem o mesmo valor lógico.

Conjunção

Podemos representar "$p$ e $q$" por $p \wedge q$. Esta será chamada de conjunção de $p$ e $q$ (ou de proposição conjuntiva).

Quando uma proposição $p \wedge q$ é verdadeira? Vejamos algumas proposições para descobrir:

(1) "A Lua é menor do que o Sol e branco é uma cor clara".

Esta proposição é verdadeira, pois ela é formada por duas sentenças que também são.

(2) "A Lua é menor do que o Sol e cachorros são aves".

Esta proposição é falsa. Por mais que a primeira afirmação seja verdadeira, a segunda é falsa e isto faz com que a proposição inteira seja falsa.

(3) "Gatos botam ovos e o arco-íris tem sete cores".

Esta proposição é falsa. Por mais que a segunda afirmação seja verdadeira, a primeira é falsa e isto faz com que a proposição inteira seja falsa.

(4) "Cangurus tem asas e ouro é um metal rosa".

Esta proposição é falsa, já que as duas afirmações são falsas.

Assim, podemos imaginar que $p \wedge q$ é verdadeira apenas quando ambas as proposições $p$ e $q$ são ambas verdadeiras. Podemos resumir tudo isso em uma tabela verdade:

$p$	$q$	$p \wedge q$
$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$F$
$F$	$F$	$F$

Disjunção

Podemos representar "$p$ ou $q$" por $p \vee q$. Esta será chamada de disjunção de $p$ e $q$ (ou de proposição disjuntiva).

Quando uma proposição $p \vee q$ é verdadeira? Quando pelo menos uma das proposições "$p$ ou $q$ é verdadeira.

Condicional

Podemos escrever "se $p$ então $q$" da seguinte maneira: $p \rightarrow q$. Esta é uma sentença condicional. Quando uma sentença condicional é verdadeira? Vejamos alguns exemplos para ver se conseguimos suspeitar de algo.

Exemplo: Imagine que um professor diz a um aluno: "Se você tirar $10$ na última prova, então você passará de ano". Temos aqui uma condicional $p \rightarrow q$, onde $p$ é "você tirar $10$ na última prova" e $q$ é "você passa de ano". Vejamos o que acontece com essa condicional em cada um dos casos:

1º Caso: $p$ e $q$ são verdadeiras.

Se ele tirou $10$ na última prova e passou de ano, então a sentença condicional foi cumprida, ou seja, ela é verdadeira.

2º Caso: $p$ é verdadeira e $q$ é falsa.

Se ele tirou $10$ na última prova, mas não passou de ano, então a sentença condicional não foi cumprida, logo ela é falsa.

3º Caso: $p$ é falsa e $p$ é verdadeira.

Se ele não tirou $10$ na última prova e mesmo assim passou de ano, a sentença condicional foi cumprida, pois ele pode ter passado por outro motivo (pode ser que ele foi muito bem nas provas anteriores, por exemplo). Logo, a condicional é verdadeira neste caso.

(Note que o professor não disse nada sobre o que aconteceria se ele não tirasse $10$).

4º Caso: $p$ e $q$ são falsas.

Se ele não tirou $10$ e não passou de ano, então o professor não estava mentindo. Logo, a condicional é verdadeira neste caso. Dizemos que estas afirmações são vacuamente satisfeitas.

(Note que o professor não disse nada sobre o que aconteceria se ele não tirasse $10$).

Observe então que $p \rightarrow q$ é falsa se, e somente se, $p$ é verdadeira e $q$ é falsa. Podemos resumir isso numa tabela:

$p$	$q$	$p \rightarrow q$
$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$
$F$	$F$	$V$

Implicação Lógica

Sejam $p$ e $q$ duas proposições (que podem depender de outras). Dizemos que $p$ implica $q$ quando $p \rightarrow q$ é sempre verdadeira, independente dos valores lógicos das proposições das quais $p$ e $q$ dependem. Denotaremos isto por $p \Rightarrow q$.

Exemplos:

(1) $p \Rightarrow p$, pois

$p$	$p \rightarrow p$
$V$	$V$
$F$	$V$

(2) $(p \wedge q) \Rightarrow (p \vee q)$, pois

$p$	$q$	$p \wedge q$	$p \vee q$	$(p \wedge q) \rightarrow (p \vee q)$
$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$V$	$V$
$F$	$V$	$F$	$V$	$V$
$F$	$F$	$F$	$F$	$V$

(3) $(p \wedge q) \Rightarrow p$

$p$	$q$	$p \wedge q$	$(p \wedge q) \rightarrow p$
$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$V$
$F$	$V$	$F$	$V$
$F$	$F$	$F$	$V$

É comum que apareçam implicações lógicas nas resoluções de equações. Coimo por exemplo,

$2x-4=6 \Rightarrow 2x=4+6 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=\frac{10}{2} \Rightarrow x=5.$

Observações

(1) Se $P\Rightarrow Q$ não necessariamente podemos concluir que $Q\Rightarrow P$.

Por exemplo, podemos dizer que "se ele é cachorro, então ele é um mamífero", mas não podemos dizer que "se ele é um mamífero, então ele é um cachorro". Afinal, existem outros mamíferos além dos cachorros: gatos, coelhos, humanos etc.

(2) Nunca escreva "se $P\Rightarrow Q$" para representar uma implicação lógica em si.

Equivalência Lógica

Se $P\Rightarrow Q$ e $Q\Rightarrow P$, vamos dizer que $P$ e $Q$ são logicamente equivalentes. Escrevermos isso da seguinte maneira $P\Leftrightarrow Q$.

Condição Necessária e Condição Suficiente

A condição suficiente é geralmente mais forte do que a conclusão que se quer chegar.

Silogismos

Se tivermos algo da forma "se $P$ então $Q$" e "se $Q$ então $R$", podemos concluir que "se $P$ então $R$".

É mais popularmente conhecida por frases do tipo "todo $P$ é $Q$" e "todo $Q$ é $R$", logo "todo $P$ é $R$".

Por exemplo, "todo humano é mamífero" e "todo mamífero é animal", logo "todo humano é animal".

Prova por Absurdo

Ao invés de provarmos algo diretamente, começamos assumindo que a afirmação é falsa e mostrarmos que isto nos leva a uma afirmação absurda (ou a uma contradição). Chamaremos isto de prova por absurdo (ou prova por contradição).

Este tipo de argumento costuma ser útil quando queremos provar que algo não pode ocorrer, mas nada impede de usarmos ele para provarmos que algo afirmativo também.

Em geral, quando é interessante usarmos a prova por absurdo? Quando a negação do que queremos provar parece mais fácil de se mexer do que a afirmação original.

Exemplo

Prove que se $x^2$ é par, então $x$ é par.

Solução: Suponha, por absurdo, que $x$ é ímpar. Então $x^2$ é ímpar. Contradição. Logo, $x$ é par.

Exemplo

Prove que $\sqrt{2}$ é irracional.

Solução: Suponha, por absurdo, que $\sqrt{2}$ seja racional. Com isso, existem $a$ e $b$ naturais tais que

${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}.$

Tomemos $a$ e $b$ de forma que a fração seja irredutível. Observe que

${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}\Leftrightarrow a={\sqrt {2}}b\Leftrightarrow a^{2}=2b^{2}.(*)$

Desta forma, $a^2$ é par. Por um exemplo anterior, $a$ é par e com isso, existe $t$ inteiro tal que $a=2t$. Se substituirmos em $(*)$:

$(2t)^{2}=2b^{2}\Leftrightarrow b^{2}=2t^{2}.$ Mas isto contradiz o fato de que a fração é irredutível. Logo, $\sqrt{2}$ é irracional.

Observação

Existe uma relação direta entre lógica e conjuntos (mas que você não precisa se preocupar com ela, pois não é necessária para que você vire um olímpico). Por exemplo, a implicação lógica está relacionada com a inclusão, a igualdade entre conjuntos está relacionada com a equivalência lógica.

Onde Treinar Lógica?

Existe um jogo na Playstore chamado Not Not, que pode ser encontrado aqui. É um jogo que você precisa usar a lógica corretamente para poder avançar.

Bibliografia

• P. Zeitz : The Art and Craft of Problem Solving, Wiley; International Student edition, 2006.
• FILHO, Daniel Cordeiro de Morais. Um Convite à Matemática: com técnicas de demonstração e notas históricas. 3ª. ed. [S.l.]: SBM, 2016. 310 p.
• LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio. 10. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012. 280 p. v. 1.