FANDOM


Um número z é chamado de complexo se existem a e b reais tais que

z=a+bi.

O número a é chamado de parte real de z e representado por \operatorname{Re}z, enquanto b é chamado de parte imaginária e representado por \operatorname{Im}z. O conjunto dos números complexos é representado por \mathbb{C}.

Adição de Números ComplexosEditar

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

Multiplicação de Números ComplexosEditar

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

Conjugado ComplexoEditar

O conjugado complexo do número z=a+bi é o número a-bi. Representaremos o conjugado complexo de z por \overline{z}.

Propriedades do Conjugado ComplexoEditar

(i) \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}.

(ii)\overline{z-w}=\overline{z}-\overline{w}.

(iii)\overline{zw}=\overline{z}.\overline{w}.

(iv) Se n é um número natural, então \overline{z^n}={\overline{z}}^n.

(v) O número z é real se, e somente se, z=\overline{z}.

Módulo de um Número ComplexoEditar

Se z=a+bi, o módulo de z será o número |z|=\sqrt{a^2+b^2}.

Propriedades do Módulo de um Número ComplexoEditar

z.\overline{z}=|z|^2

Representação Geométrica de um Número ComplexoEditar

Todo número complexo z=a+bi pode ser associado a um ponto no plano cartesiano (a,b). Além disso, todo ponto (a,b) do plano cartesiano pode ser associado a um número complexo z=a+bi.

O módulo de um número z é igual a distância do ponto associado a z até a origem.

A distância entre os pontos associados aos números complexos z e w é dada por |z-w|.

Argumento de um Número ComplexoEditar

O ângulo formado pela semirreta que a origem ao ponto que representa z e o eixo x (visto no sentido anti-horário) é chamado de argumento de z.

O número z=0 não possui argumento.

Forma Polar de um Número ComplexoEditar

Seja \theta o argumento do número z. Então

z=|z| (\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta)

é chamado de forma polar de z. Escrever um número complexo na forma polar faz com que um número fique mais fácil de ser multiplicado. De fato, se

z=|z|(\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta)

e

w=|w|(\cos \varphi +i \operatorname{sen} \varphi),

então

zw=|zw|(\cos (\theta+\varphi)+i \operatorname{sen} (\theta+\varphi)).

Fórmula de MoivreEditar

Se n é um número inteiro e z é um número complexo tal que z=|z|(\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta), então

z^n=|z|^n(\cos (n\theta)+i \operatorname{sen} (n\theta)).

Raizes n-ésimas de um Número ComplexoEditar

Se w é um número complexo, com w=|w|(\cos \varphi +i \operatorname{sen} \varphi), então as raízes n-ésimas de w são da forma:

\sqrt[n]{|w|}(\cos (\frac{\varphi+2k\pi}{n}) +i \operatorname{sen}(\frac{\varphi+2k\pi}{n}))

Fórmula de EulerEditar

e^{i\theta}=\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta.

Consequências:

\cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}.

Identidade de EulerEditar

e^{i\pi}+1=0.

Referências BibliográficasEditar

[1] E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.

Interferência de bloqueador de anúncios detectada!


A Wikia é um site grátis que ganha dinheiro com publicidade. Nós temos uma experiência modificada para leitores usando bloqueadores de anúncios

A Wikia não é acessível se você fez outras modificações. Remova o bloqueador de anúncios personalizado para que a página carregue como esperado.