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Um número $ z $ é chamado de complexo se existem $ a $ e $ b $ reais tais que

$ z=a+bi $.

O número $ a $ é chamado de parte real de $ z $ e representado por $ \operatorname{Re}z $, enquanto $ b $ é chamado de parte imaginária e representado por $ \operatorname{Im}z $. O conjunto dos números complexos é representado por $ \mathbb{C} $.

Propriedades das Partes Reais e ImagináriasEditar

(i) Se $ x $ é um número real, então $ x\operatorname{Re}z=\operatorname{Re}(xz) $ e $ x\operatorname{Im}z=\operatorname{Im}(xz) $

Adição de Números ComplexosEditar

$ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i $.

Multiplicação de Números ComplexosEditar

$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i $.

Conjugado ComplexoEditar

O conjugado complexo do número $ z=a+bi $ é o número $ a-bi $. Representaremos o conjugado complexo de $ z $ por $ \overline{z} $.

Propriedades do Conjugado ComplexoEditar

(i) $ \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} $.

(ii)$ \overline{z-w}=\overline{z}-\overline{w} $.

(iii)$ \overline{zw}=\overline{z}.\overline{w} $.

(iv) Se $ n $ é um número natural, então $ \overline{z^n}={\overline{z}}^n $.

(v) O número $ z $ é real se, e somente se, $ z=\overline{z} $.

Módulo de um Número ComplexoEditar

Se $ z=a+bi $, o módulo de $ z $ será o número $ |z|=\sqrt{a^2+b^2} $.

Propriedades do Módulo de um Número ComplexoEditar

$ z.\overline{z}=|z|^2 $

Representação Geométrica de um Número ComplexoEditar

Todo número complexo $ z=a+bi $ pode ser associado a um ponto no plano cartesiano $ (a,b) $. Além disso, todo ponto $ (a,b) $ do plano cartesiano pode ser associado a um número complexo $ z=a+bi $.

O módulo de um número $ z $ é igual a distância do ponto associado a $ z $ até a origem.

A distância entre os pontos associados aos números complexos $ z $ e $ w $ é dada por $ |z-w| $.

Argumento de um Número ComplexoEditar

O ângulo formado pela semirreta que a origem ao ponto que representa $ z $ e o eixo $ x $ (visto no sentido anti-horário) é chamado de argumento de $ z $.

O número $ z=0 $ não possui argumento.

Forma Polar de um Número ComplexoEditar

Seja $ \theta $ o argumento do número $ z $. Então

$ z=|z| (\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta) $

é chamado de forma polar de $ z $. Escrever um número complexo na forma polar faz com que um número fique mais fácil de ser multiplicado. De fato, se

$ z=|z|(\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta) $

e

$ w=|w|(\cos \varphi +i \operatorname{sen} \varphi) $,

então

$ zw=|zw|(\cos (\theta+\varphi)+i \operatorname{sen} (\theta+\varphi)) $.

Fórmula de MoivreEditar

Se $ n $ é um número inteiro e $ z $ é um número complexo tal que $ z=|z|(\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta) $, então

$ z^n=|z|^n(\cos (n\theta)+i \operatorname{sen} (n\theta)) $.

Raizes n-ésimas de um Número ComplexoEditar

Se $ w $ é um número complexo, com $ w=|w|(\cos \varphi +i \operatorname{sen} \varphi) $, então as raízes n-ésimas de $ w $ são da forma:

$ \sqrt[n]{|w|}(\cos (\frac{\varphi+2k\pi}{n}) +i \operatorname{sen}(\frac{\varphi+2k\pi}{n})) $

BibliografiaEditar

  • E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.