Números Complexos

Um número $z$ é chamado de complexo se existem $a$ e $b$ reais tais que

$z=a+bi$ .

O número $a$ é chamado de parte real de $z$ e representado por $\operatorname{Re}z$ , enquanto $b$ é chamado de parte imaginária e representado por $\operatorname{Im}z$ . O conjunto dos números complexos é representado por $\mathbb{C}$ .

Quando um número puder ser escrito na forma $ix$ onde $x$ é um número diferente de zero, ele é chamado de imaginário puro.

Propriedades das Partes Reais e Imaginárias[]

(i) Se $x$ é um número real, então $x\operatorname {Re} z=\operatorname {Re} (xz)$ e $x\operatorname {Im} z=\operatorname {Im} (xz)$

Adição de Números Complexos[]

$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$ .

Multiplicação de Números Complexos[]

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ .

Conjugado Complexo[]

O conjugado complexo do número $z=a+bi$ é o número $a-bi$ . Representaremos o conjugado complexo de $z$ por $\overline{z}$ .

Propriedades do Conjugado Complexo[]

(i) ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$ .

(ii) ${\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}$ .

(iii) ${\overline {zw}}={\overline {z}}.{\overline {w}}$ .

(iv) Se $n$ é um número natural, então ${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$ .

(v) O número $z$ é real se, e somente se, $z = \overline{z}$ .

Módulo de um Número Complexo[]

Se $z=a+bi$ , o módulo de $z$ será o número $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Propriedades do Módulo de um Número Complexo[]

(i) $z.\overline{z}=|z|^2$

(ii) $|z||w|=|zw|$

(iii) $\left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}$

Representação Geométrica de um Número Complexo[]

Todo número complexo $z=a+bi$ pode ser associado a um ponto no plano cartesiano $(a,b)$ . Além disso, todo ponto $(a,b)$ do plano cartesiano pode ser associado a um número complexo $z=a+bi$ .

O módulo de um número $z$ é igual a distância do ponto associado a $z$ até a origem.

A distância entre os pontos associados aos números complexos $z$ e $w$ é dada por $|z-w|$ .

Argumento de um Número Complexo[]

O ângulo formado pela semirreta que a origem ao ponto que representa $z$ e o eixo $x$ (visto no sentido anti-horário) é chamado de argumento de $z$ . Ele é denotado por $\arg z$ .

O número $z=0$ não possui argumento.

Forma Polar de um Número Complexo[]

Seja $\theta$ o argumento do número $z$ . Então

$z=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$

é chamado de forma polar de $z$ . Escrever um número complexo na forma polar faz com que um número fique mais fácil de ser multiplicado. De fato, se

$z=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$

e

$w=|w|(\cos \varphi +i\operatorname {sen} \varphi )$ ,

então

$zw=|zw|(\cos(\theta +\varphi )+i\operatorname {sen} (\theta +\varphi ))$ .

Fórmula de Moivre[]

Se $n$ é um número inteiro e $z$ é um número complexo tal que $z=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$ , então

$z^{n}=|z|^{n}(\cos(n\theta )+i\operatorname {sen} (n\theta ))$ .

Raizes n-ésimas de um Número Complexo[]

Se $w$ é um número complexo, com $w=|w|(\cos \varphi +i\operatorname {sen} \varphi )$ , então as raízes n-ésimas de $w$ são da forma:

${\sqrt[{n}]{|w|}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\operatorname {sen} \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)$

Lugares Para Estudar[]

Números Complexos - Parte I (POTI - Nível 2)
Números Complexos - Parte II (POTI - Nível 2)
A aula do POTI - Nível 3: Arquivo:Aula 05 - Números Complexos.pdf
O artigo da Revista Eureka 27: Substituições Envolvendo Números Complexos (Diego Veloso Uchôa).

Vídeos[]

Bibliografia[]

E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.