Wiki Olimpédia
Registre-se
Advertisement

As três alturas de um triângulo possuem um ponto em comum. Este é chamado de ortocentro. Ele é geralmente indicado pela letra .

Ortocentro definição

Observação[]

O ortocentro de um triângulo agudo está localizado no seu interior. De fato, neste caso, todas as as alturas estão no interior do triângulo.

Ortocentro triângulo acutângulo

No caso de um triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice oposto à hipotenusa. Por exemplo, no caso da figura abaixo, e são alturas relativas à e , respectivamente. Desta forma, pertence a ambas as alturas e assim é o ortocentro.

Ortocentro triângulo retângulo

O ortocentro de um triângulo obtusângulo está localizado fora dele. De fato, neste tipo de triângulo, duas alturas estão no exterior dele. Por exemplo, na figura a seguir, o triângulo é obtusângulo, pois é obtuso. Observe que e são as alturas relativas a e , respectivamente. Como é obtuso, segue que as alturas relativas a e não estão no interior do triângulo e logo se encontram em um ponto fora dele, que chamaremos de . Se prolongarmos por , ele também passará por .

Ortocentro triângulo obtusângulo

Exemplo[]

Seja um triângulo acutângulo e o seu ortocentro. Prove que .

Solução: Considere , e .

Sejam , e os pés das alturas relativas aos vértices , e , respectivamente. Como os triângulos e são retângulos, segue que

Como a soma dos ângulos do triângulo é e , segue que

Exemplo[]

Seja um triângulo com ortocentro e ortocentro , de forma que e . Calcule .

Solução: Vamos fazer um planejamento. Já sabemos que . Se soubermos de e , resolveremos o problema. Vamos procurar . Vale a pena pegar um triângulo que o contenha. Se prolongarmos até que ele forme a altura, teremos um triângulo de ângulos e . Desta forma, .

Resta calcularmos . Precisamos de um triângulo que o contenha. Pegaremos . Observe que, como é o circuncentro, . Mas , de onde segue que . Finalmente,

Exemplo (OBM 2006 - 3ª Fase - Nível 2)[]

Seja um triângulo acutângulo e o seu ortocentro. Sejam , e os pontos médios de , e , respectivamente. Determine a medida do ângulo se o ângulo mede .

OBM2006q5n2

Solução: Antes de mais nada, vamos nomear alguns pontos. Considere e os pés das alturas do triângulo relativas aos lados e , respectivamente. Seja também o ponto de encontro de com .

Existem elementos importantes na figura que nos dão informações legais sobre ângulos? Sim: como aparecem pontos médios, podemos construir bases médias que nos dão paralelismos. Além disso, podemos usar o fato de que é o ponto médio da hipotenusa . Usemos estes fatos para encontrar o máximo de ângulos possíveis na figura.

Comecemos usando as bases médias. Como é base média do triângulo , segue que é paralelo a . Da mesma forma, é paralelo a . Podemos já marcar alguns ângulos aí.

Quais deles já conhecemos? Dois deles são os de . Como já sabemos que é paralelo a , segue que , de onde segue que , pois e são paralelos.

Desta forma, o quadrilátero é inscritível. E qual a vantagem disso? É que . Desta forma, basta determinarmos para terminarmos o problema.

Como é o ponto médio da hipotenusa, segue que e assim .

Logo, .

O Ortocentro nos dá Quadriláteros Inscritíveis[]

Considere , e as alturas do triângulo e o seu ortocentro. Os quadriláteros e , e são inscritíveis, assim como os quadriláteros , e são inscritíveis. As circunferências circunscritas a esses seis quadriláteros têm diâmetros e , respectivamente.

Ortocentro quadriláteros inscritíveis

Exemplo[]

Sejam um triângulo com , e e , e as alturas relativas a , e , respectivamente. Determine os ângulos de em função de , e .

(Observação: o triângulo é chamada de triângulo órtico.)

Solução: Seja o ortocentro. Observe que . Como é inscritível, segue que . Além disso, e como é inscritível, segue que . Portanto, . Analogamente, e .

Exemplo[]

Prove que o ortocentro é o incentro do triângulo órtico.

Solução. Seja o triângulo inicial, seu ortocentro e , e as alturas relativas a , e , respectivamente. Como é inscritível, , mas, como e são inscritíveis, e , o que significa que , ou seja, está na bissetriz de . Analogamente, ele está nas bissetrizes dos dois outros ângulos, e o problema acabou.

Incentro do ortico


Exemplo (Cone Sul 1997)[]

Considere um triângulo acutângulo , e seja um ponto do plano do triângulo. Sejam e as projeções ortogonais de sobre as retas que contêm as alturas do triângulo . Determinar para que posições de o triângulo é congruente a .

Solução: Comecemos comparando os ângulos dos triângulos e , já que parece mais fácil mexer com ângulos do que com lados. Para isso, vamos calcular alguns na figura para ver se conseguimos mais informações.

Como e são iguais a , pois e são projeções, segue que é inscritível. Analogamente, também é. Com isso, e pertencem a uma mesma circunferência.

Considere , e as alturas do triângulo e o seu ortocentro.

ConeSul1997q6

Como e enxergam o mesmo arco e é inscritível, segue que

Analogamente,

Desta forma, os triângulos e são semelhantes. E para descobrirmos quando há congruências? Basta vermos quando os raios das circunferências circunscritas são iguais.

Existe alguma forma de envolvermos o raio da circunferência circunscrita ao triângulo com o ponto ? Sim! Como , segue que é o diâmetro dessa circunferência e assim a sua medida é igual ao dobro do raio.

Se considerarmos o raio da circunferência circunscrita ao triângulo , então e terão o mesmo circunraio se, e somente se, .

Portanto, e são congruentes se, e somente se, pertence a uma circunferência de centro e raio .

Exemplo (OBM 2011 - 3ª Fase - Nível 3)[]

Seja um triângulo acutângulo e seu ortocentro. As retas e cortam e em e , respectivamente. O circuncírculo de corta o circuncírculo de em . Provar que as bissetrizes internas de e se cortam em um ponto sobre o segmento .

Solução: Considere o ponto de intersecção da bissetriz de com . Para terminarmos o problema, basta mostrarmos que é a bissetriz interna do ângulo . Como podemos fazer isso? Uma maneira é usarmos a recíproca do teorema da Bissetriz Interna, ou seja, provarmos que

.

Olha só que legal: estamos querendo mexendo com razão entre medidas. Uma boa maneira de fazermos isto é procurarmos por semelhança de triângulos que envolvem esses lados. Observe que pois ambos enxergam o arco no circuncírculo de . Além disso, observe que , pois ambos enxergam o arco no circuncírculo de . Chamemos de essa medida. Por isso, e . Dessa forma, . Com isso, os triângulos e são semelhantes pelo caso (e eles envolvem e ). Assim

O lado esquerdo dessa igualdade é justamente o lado esquerdo da relação que queremos provar. Uma boa maneira de continuarmos seria relacionar os lados e com outras partes da figura. Esses dois lados participam de triângulos dois pais podemos encontrar uma semelhança? Note que e (pois eles são OPV). Com isso, os triângulos e são semelhantes e assim

Fizemos reaparecer. Se compararmos com ,

E a parte interessante aqui é: aparece que são lados do triângulo . E por que isso é interessante? Repare que é o ângulo do qual falamos da bissetriz (no enunciado). De fato, podemos fazer essa razão aparecer com o Teorema da Bissetriz Interna. Se aplicarmos ele:

Ao compararmos as duas últimas igualdades,

Esta é justamente a igualdade que deveríamos provar.

OBM2011q5n3

AH = 2OM[]

Em outras palavras, a distância entre um vértice e o ortocentro é igual ao dobro da distância entre o circuncentro e o ponto médio do lado oposto.

Quando devemos usar esta relação? Quando aparecer na nossa conta o ortocentro e o circuncentro.

Vamos enunciar este resultado com um pouco mais de precisão e prová-lo.

Teorema: Seja um triângulo, e o circuncentro e o ortocentro, respectivamente e o ponto médio de . Então .

Ortocentro propriedade

Prova:

AH2OM

Considere o ponto médio do lado . Provaremos que e são semelhantes. Para isso, veremos os paralelismos. Como é a base média, segue que ela é paralela a . Além disso, como e são perpendiculares a , segue que é paralelo a . Analogamente, e são paralelos.

Observe que , pois e são paralelos a e , respectivamente. Analogamente, . Logo, os triângulos e são semelhantes pelo caso .

Portanto,

.

Observação[]

Também é útil usarmos um fato que aparece na demonstração deste teorema: é paralelo a .

Exemplo (OBM 2008 - 3ª Fase - Nível 2)[]

Sejam um triângulo acutângulo e , seu circuncentro e ortocentro, respectivamente. Sabendo que

,

OBM2008q5n2

calcule os ângulos do triângulo .

Solução: Como conseguir os ângulos se só sabemos informações sobre as medidas dos lados? Observe que, como é o circuncentro,

.

Ganhamos alguns triângulos isósceles. Mas ainda não adianta muito: não temos nenhum ângulo, por enquanto.

Vamos procurar outras coisas então. Aparece uma coisa muito estranha no enunciado: . Talvez seja legal porque se elevarmos ao quadrado, a raiz quadrada some. Então somos levados a pensar: o que na geometria mexe com números elevados ao quadrado? Teorema de Pitágoras. Qual dos triângulos envolve ? Por enquanto, o mais provável aí é . Observe que

.

Desta forma, pela recíproca do Teorema de Pitágoras, é um triângulo retângulo em . Como é um triângulo isósceles, segue que .

Além disso, .

Parece que ainda não temos ângulos suficientes. Precisamos então extrair outras informações do enunciado. O que ainda não usamos? A medida de , que é a distância entre o vértice e o ortocentro. O que podemos dizer sobre ela? Que é o dobro da distância entre o circuncentro e o ponto médio do lado oposto. Em outras palavras, se é o ponto médio do lado , então

.

E o que isso nos ajuda? Observe que o triângulo . Ele possui o lado e um ângulo de . Parece que conseguimos usar alguma trigonometria aqui. Para isso, precisamos relacionar com outro lado do triângulo . Observe que . Assim, como é agudo,

.

Como e , segue que .

Proposição[]

Os pontos simétricos do ortocentro em relação a cada um dos pontos médios dos lados pertence ao circuncírculo, assim como os simétricos em relação aos próprios lados.

Simétrico do ortocentro
Refletindo o ortocentro

Exemplo (OBM 2019 - Nível 2)[]

Seja um triângulo acutângulo e um ponto qualquer sobre o lado . Seja o simétrico de em relação a e seja o simétrico de em relação a . A reta intersecta em enquanto a reta intersecta em . Prove que os pontos e estão sobre uma mesma circunferência.

Solução: Como conecta com seu simétrico em relação a , vale que é perpendicular a . Analogamente, é perpendicular a . Isso faz de o ortocentro de ... mas os simétricos do ortocentro (aqui, e ) pelos lados pertencem ao circuncírculo e o problema acabou!

Obm2019n2p4


Exemplo (Bay Area Math Olympiad 2013)[]

Seja um triângulo acutângulo e seu ortocentro. Prove que os circuncentros de , e formam um triângulo congruente a .

Solução: Refletindo o ortocentro através dos lados, temos pontos no circuncírculo. Isso significa que refletindo o circuncírculo através dos lados, teremos os circuncírculos de , e . Daí, temos que os circuncentros desse triângulo são os simétricos do circuncentro através dos lados. Seja o simétrico de em relação a , defina e analogamente. Podemos ver que, como pertence às mediatrizes dos lados, o segmento compartilha um ponto médio com , analogamente, e compartilham um ponto médio; sejam e esses pontos médios. Podemos ver, então, que é não só uma base média de , mas também de , de forma que . Fazendo argumentos equivalentes para os outros lados, temos uma congruência entre os dois triângulos pelo caso LLL.

Bamo2013


Essa solução também alude a algumas homotetias entre , e .

Exemplo (Cone Sul 1998)[]

Seja o ortocentro do triângulo acutângulo e o ponto médio do lado . Seja o ponto em que a reta intersecta o arco (que não contém ) da circunferência circunscrita a . Seja o ponto de interseção da reta com a circunferência, distinto de . Demonstre que .

Solução: Na nossa solução aparece o ortocentro e o ponto médio de um dos lados. Vamos usar a proposição: o simétrico do ortocentro em relação a pertence ao circuncírculo. De fato, este simétrico é o ponto , de onde segue que é o ponto médio de .

Além disso, é o ponto médio do lado . Agora observe o quadrilátero . As diagonais dele se encontram no ponto médio. Com isso, ele é um paralelogramo.

Vamos aproveitar das propriedades dos quadriláteros mais uma vez. Observe que os segmentos que queremos provar que são iguais são diagonais do quadrilátero e que acabamos de mostrar que ele é um trapézio. Se mostrarmos que ele é isósceles, então as suas diagonais serão iguais, o que termina o problema.

Provemos então que . Para isto, é suficiente mostrarmos que , o que é verdade, pois é paralelo a e assim .

Ponto-Queue[]

É um ponto que aparece algumas vezes em configurações de ortocentro e que tem várias propriedades interessantes. Ele não tem um nome "oficial", mas foi chamado de Queue-Point neste artigo. Por curiosidade, "queue" significa "fila".

Dado um triângulo , seu triângulo órtico e seu ortocentro , o -ponto-queue, que chamaremos de , é a interseção dos circuncírculos de e , ou de com a circunferência de diâmetro .

Ponto Queue 0

Aqui seguem algumas de suas propriedades:

Colinearidade com o ortocentro, o ponto médio e o ponto diametralmente oposto[]

Sendo o ponto médio de e o ponto diametralmente oposto a em , sabemos que , e são colineares. Então, como , segue que também está nessa reta.

Ponto Queue 1

O ponto de encontro das retas tangentes[]

As retas tangentes a que passam por e se encontram em . Se é o ponto de encontro de com , então está na reta .

Ponto Queue 2

Como o ortocentro e o circuncentro são conjugados isogonais, segue que . Como é uma mediana de , segue que é uma simediana de , e portanto passa por .

AQ, EF e BC concorrem[]

Também provado aqui. Como é cíclico, se usarmos o Teorema do Eixo radical em , e , teremos a conclusão desejada. O ponto de encontro dessas retas, inclusive, é o conjugado harmônico de em relação a .

Ponto Queue 3

Q é centro de uma roto-homotetia[]

Como pertence a e , temos que e . Esse fato é apresentado aqui.

Ponto Queue 4

Junto com o fato de que , temos que , fato que é útil aqui.

Exemplo (Cone Sul 2019)[]

Seja um triângulo acutângulo com , e seja seu ortocentro. A circunferência de diâmetro intersecta a circunferência circunscrita de em . A tangente à circunferência circunscrita de por intersecta a reta em . Demonstrar que .

Solução: Claramente, é o Ponto-Queue de . Já é o centro da Circunferência de Apolônio que contém os pontos tais que . Mas pela proposição anterior, então pertence a essa circunferência, portanto .

Cone Sul 2019 P6

Lugares Para Estudar[]

Vídeos[]

Advertisement