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As três alturas de um triângulo possuem um ponto em comum. Este é chamado de ortocentro.

ObservaçãoEditar

O ortocentro de um triângulo agudo está localizado no seu interior. O ortocentro de um triângulo obtusângulo está localizado fora dele. No caso de um triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice oposto à hipotenusa.

Exemplo (OBM 2006 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Seja ABC um triângulo acutângulo e H o seu ortocentro. Sejam M, N e R os pontos médios de AB, BC e AH, respectivamente. Determine a medida do ângulo \angle MNR se o ângulo \angle ABC mede 70^{\circ}.
OBM2006q5n2

Solução: Antes de mais nada, vamos nomear alguns pontos. Considere I e J os pés das alturas do triângulo ABC relativas aos lados AC e BC, respectivamente. Seja também K o ponto de encontro de BH com MJ.

Existem elementos importantes na figura que nos dão informações legais sobre ângulos? Sim: como aparecem pontos médios, podemos construir bases médias que nos dão paralelismos. Além disso, podemos usar o fato de que M é o ponto médio da hipotenusa AB. Usemos estes fatos para encontrar o máximo de ângulos possíveis na figura.

Comecemos usando as bases médias. Como MN é base média do triângulo ABC, segue que MN é paralelo a AC. Da mesma forma, MR é paralelo a BI. Podemos já marcar alguns ângulos aí.

Quais deles já conhecemos? Dois deles são os de \angle BIA=\angle BIC=90^{\circ}. Como já sabemos que MN é paralelo a AC, segue que \angle BHM=90^{\circ}, de onde segue que \angle HMR=90^{\circ}, pois MR e BI são paralelos.

Desta forma, o quadrilátero MJNR é inscritível. E qual a vantagem disso? É que \angle MNR=\angle MJR. Desta forma, basta determinarmos \angle MJR para terminarmos o problema.

Como M é o ponto médio da hipotenusa, segue que MJ=MA e assim \angle MJR= \angle MAJ=\angle BAJ=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}.

Logo, \angle MNR=20^{\circ}.

AH=2OMEditar

Em outras palavras, a distância entre um vértice e o ortocentro é igual ao dobro da distância entre o circuncentro e o ponto médio do lado oposto.

Quando devemos usar esta relação? Quando aparecer na nossa conta o ortocentro e o circuncentro.

Vamos enunciar este resultado com um pouco mais de precisão e prová-lo.

Teorema: Seja ABC um triângulo, O e H o circuncentro e o ortocentro, respectivamente e M o ponto médio de BC. Então AH=2OM.

Prova:

AH2OM

Considere N o ponto médio do lado AC. Provaremos que ABH e MNO são semelhantes. Para isso, veremos os paralelismos. Como MN é a base média, segue que ela é paralela a AB. Além disso, como AH e OM são perpendiculares a BC, segue que AH é paralelo a OM. Analogamente, BH e ON são paralelos.

Observe que \angle ABH=\angle MNO, pois AB e BH são paralelos a MN e ON, respectivamente. Analogamente, \angle BAH=\angle NMO. Logo, os triângulos ABH e MNO são semelhantes pelo caso AA.

Portanto,

\frac{AH}{OM}=\frac{AB}{MN}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow AH=2OM.

Exemplo (OBM 2008 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Sejam ABC um triângulo acutângulo e O, H seu circuncentro e ortocentro, respectivamente. Sabendo que

\frac{AB}{\sqrt{2}}=BH=OB,
OBM2008q5n2

calcule os ângulos do triângulo ABC.

Solução: Como conseguir os ângulos se só sabemos informações sobre as medidas dos lados? Observe que, como O é o circuncentro,

OA=OB=OC=\frac{AB}{\sqrt{2}}=BH.

Ganhamos alguns triângulos isósceles. Mas ainda não adianta muito: não temos nenhum ângulo, por enquanto.

Vamos procurar outras coisas então. Aparece uma coisa muito estranha no enunciado: \frac{AB}{\sqrt{2}}. Talvez seja legal porque se elevarmos ao quadrado, a raiz quadrada some. Então somos levados a pensar: o que na geometria mexe com números elevados ao quadrado? Teorema de Pitágoras. Qual dos triângulos envolve AB? Por enquanto, o mais provável aí é OAB. Observe que

OA^2+OB^2=(\frac{AB}{\sqrt{2}})^2+(\frac{AB}{\sqrt{2}})^2=AB^2.

Desta forma, pela recíproca do Teorema de Pitágoras, OAB é um triângulo retângulo em O. Como OAB é um triângulo isósceles, segue que \angle OAB=\angle OBA=45^{\circ}.

Além disso, \angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=45^{\circ}.

Parece que ainda não temos ângulos suficientes. Precisamos então extrair outras informações do enunciado. O que ainda não usamos? A medida de BH, que é a distância entre o vértice B e o ortocentro. O que podemos dizer sobre ela? Que é o dobro da distância entre o circuncentro e o ponto médio do lado oposto. Em outras palavras, se M é o ponto médio do lado AC, então

BH=2OM.

E o que isso nos ajuda? Observe que o triângulo OAM. Ele possui o lado OM e um ângulo de 90^{\circ}. Parece que conseguimos usar alguma trigonometria aqui. Para isso, precisamos relacionar OM com outro lado do triângulo OAM. Observe que 2OM=BH=OA. Assim, como \angle MAO é agudo,

\operatorname{sen}{(\angle MAO)}= \frac{1}{2} \Leftrightarrow \angle MAO=30^{\circ}.

Como \angle CAB=\angle MAO+\angle OAB=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ} e \angle ACB=45^{\circ}, segue que \angle ABC=60^{\circ}.