O ortocentro de um triângulo agudo está localizado no seu interior. De fato, neste caso, todas as as alturas estão no interior do triângulo.
No caso de um triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice oposto à hipotenusa. Por exemplo, no caso da figura abaixo, e são alturas relativas à e , respectivamente. Desta forma, pertence a ambas as alturas e assim é o ortocentro.
O ortocentro de um triângulo obtusângulo está localizado fora dele. De fato, neste tipo de triângulo, duas alturas estão no exterior dele. Por exemplo, na figura a seguir, o triângulo é obtusângulo, pois é obtuso. Observe que e são as alturas relativas a e , respectivamente. Como é obtuso, segue que as alturas relativas a e não estão no interior do triângulo e logo se encontram em um ponto fora dele, que chamaremos de . Se prolongarmos por , ele também passará por .
Exemplo[]
Seja um triângulo acutângulo e o seu ortocentro. Prove que .
Solução: Considere , e .
Sejam , e os pés das alturas relativas aos vértices , e , respectivamente. Como os triângulos e são retângulos, segue que
Como a soma dos ângulos do triângulo é e , segue que
Exemplo[]
Seja um triângulo com ortocentro e ortocentro , de forma que e . Calcule .
Solução: Vamos fazer um planejamento. Já sabemos que . Se soubermos de e , resolveremos o problema. Vamos procurar . Vale a pena pegar um triângulo que o contenha. Se prolongarmos até que ele forme a altura, teremos um triângulo de ângulos e . Desta forma, .
Resta calcularmos . Precisamos de um triângulo que o contenha. Pegaremos . Observe que, como é o circuncentro, . Mas , de onde segue que . Finalmente,
Exemplo (OBM 2006 - 3ª Fase - Nível 2)[]
Seja um triângulo acutângulo e o seu ortocentro. Sejam , e os pontos médios de , e , respectivamente. Determine a medida do ângulo se o ângulo mede .
Solução: Antes de mais nada, vamos nomear alguns pontos. Considere e os pés das alturas do triângulo relativas aos lados e , respectivamente. Seja também o ponto de encontro de com .
Existem elementos importantes na figura que nos dão informações legais sobre ângulos? Sim: como aparecem pontos médios, podemos construir bases médias que nos dão paralelismos. Além disso, podemos usar o fato de que é o ponto médio da hipotenusa . Usemos estes fatos para encontrar o máximo de ângulos possíveis na figura.
Comecemos usando as bases médias. Como é base média do triângulo , segue que é paralelo a . Da mesma forma, é paralelo a . Podemos já marcar alguns ângulos aí.
Quais deles já conhecemos? Dois deles são os de . Como já sabemos que é paralelo a , segue que , de onde segue que , pois e são paralelos.
Desta forma, o quadrilátero é inscritível. E qual a vantagem disso? É que . Desta forma, basta determinarmos para terminarmos o problema.
Como é o ponto médio da hipotenusa, segue que e assim .
Logo, .
O Ortocentro nos dá Quadriláteros Inscritíveis[]
Considere , e as alturas do triângulo e o seu ortocentro. Os quadriláteros e , e são inscritíveis, assim como os quadriláteros , e são inscritíveis. As circunferências circunscritas a esses seis quadriláteros têm diâmetros e , respectivamente.
Exemplo[]
Sejam um triângulo com , e e , e as alturas relativas a , e , respectivamente. Determine os ângulos de em função de , e .
(Observação: o triângulo é chamada de triângulo órtico.)
Solução: Seja o ortocentro. Observe que . Como é inscritível, segue que . Além disso, e como é inscritível, segue que . Portanto, . Analogamente, e .
Exemplo[]
Prove que o ortocentro é o incentro do triângulo órtico.
Solução. Seja o triângulo inicial, seu ortocentro e , e as alturas relativas a , e , respectivamente. Como é inscritível, , mas, como e são inscritíveis, e , o que significa que , ou seja, está na bissetriz de . Analogamente, ele está nas bissetrizes dos dois outros ângulos, e o problema acabou.
Exemplo (Cone Sul 1997)[]
Considere um triângulo acutângulo , e seja um ponto do plano do triângulo. Sejam e as projeções ortogonais de sobre as retas que contêm as alturas do triângulo . Determinar para que posições de o triângulo é congruente a .
Solução: Comecemos comparando os ângulos dos triângulos e , já que parece mais fácil mexer com ângulos do que com lados. Para isso, vamos calcular alguns na figura para ver se conseguimos mais informações.
Como e são iguais a , pois e são projeções, segue que é inscritível. Analogamente, também é. Com isso, e pertencem a uma mesma circunferência.
Considere , e as alturas do triângulo e o seu ortocentro.
Como e enxergam o mesmo arco e é inscritível, segue que
Analogamente,
Desta forma, os triângulos e são semelhantes. E para descobrirmos quando há congruências? Basta vermos quando os raios das circunferências circunscritas são iguais.
Existe alguma forma de envolvermos o raio da circunferência circunscrita ao triângulo com o ponto ? Sim! Como , segue que é o diâmetro dessa circunferência e assim a sua medida é igual ao dobro do raio.
Se considerarmos o raio da circunferência circunscrita ao triângulo , então e terão o mesmo circunraio se, e somente se, .
Portanto, e são congruentes se, e somente se, pertence a uma circunferência de centro e raio .
Exemplo (OBM 2011 - 3ª Fase - Nível 3)[]
Seja um triângulo acutângulo e seu ortocentro. As retas e cortam e em e , respectivamente. O circuncírculo de corta o circuncírculo de em . Provar que as bissetrizes internas de e se cortam em um ponto sobre o segmento .
Solução: Considere o ponto de intersecção da bissetriz de com . Para terminarmos o problema, basta mostrarmos que é a bissetriz interna do ângulo . Como podemos fazer isso? Uma maneira é usarmos a recíproca do teorema da Bissetriz Interna, ou seja, provarmos que
.
Olha só que legal: estamos querendo mexendo com razão entre medidas. Uma boa maneira de fazermos isto é procurarmos por semelhança de triângulos que envolvem esses lados. Observe que pois ambos enxergam o arco no circuncírculo de . Além disso, observe que , pois ambos enxergam o arco no circuncírculo de . Chamemos de essa medida. Por isso, e . Dessa forma, . Com isso, os triângulos e são semelhantes pelo caso (e eles envolvem e ). Assim
O lado esquerdo dessa igualdade é justamente o lado esquerdo da relação que queremos provar. Uma boa maneira de continuarmos seria relacionar os lados e com outras partes da figura. Esses dois lados participam de triângulos dois pais podemos encontrar uma semelhança? Note que e (pois eles são OPV). Com isso, os triângulos e são semelhantes e assim
Fizemos reaparecer. Se compararmos com ,
E a parte interessante aqui é: aparece que são lados do triângulo . E por que isso é interessante? Repare que é o ângulo do qual falamos da bissetriz (no enunciado). De fato, podemos fazer essa razão aparecer com o Teorema da Bissetriz Interna. Se aplicarmos ele:
Ao compararmos as duas últimas igualdades,
Esta é justamente a igualdade que deveríamos provar.
AH = 2OM[]
Em outras palavras, a distância entre um vértice e o ortocentro é igual ao dobro da distância entre o circuncentro e o ponto médio do lado oposto.
Quando devemos usar esta relação? Quando aparecer na nossa conta o ortocentro e o circuncentro.
Vamos enunciar este resultado com um pouco mais de precisão e prová-lo.
Teorema: Seja um triângulo, e o circuncentro e o ortocentro, respectivamente e o ponto médio de . Então .
Prova:
Considere o ponto médio do lado . Provaremos que e são semelhantes. Para isso, veremos os paralelismos. Como é a base média, segue que ela é paralela a . Além disso, como e são perpendiculares a , segue que é paralelo a . Analogamente, e são paralelos.
Observe que , pois e são paralelos a e , respectivamente. Analogamente, . Logo, os triângulos e são semelhantes pelo caso .
Portanto,
.
Observação[]
Também é útil usarmos um fato que aparece na demonstração deste teorema: é paralelo a .
Exemplo (OBM 2008 - 3ª Fase - Nível 2)[]
Sejam um triângulo acutângulo e , seu circuncentro e ortocentro, respectivamente. Sabendo que
,
calcule os ângulos do triângulo .
Solução: Como conseguir os ângulos se só sabemos informações sobre as medidas dos lados? Observe que, como é o circuncentro,
.
Ganhamos alguns triângulos isósceles. Mas ainda não adianta muito: não temos nenhum ângulo, por enquanto.
Vamos procurar outras coisas então. Aparece uma coisa muito estranha no enunciado: . Talvez seja legal porque se elevarmos ao quadrado, a raiz quadrada some. Então somos levados a pensar: o que na geometria mexe com números elevados ao quadrado? Teorema de Pitágoras. Qual dos triângulos envolve ? Por enquanto, o mais provável aí é . Observe que
.
Desta forma, pela recíproca do Teorema de Pitágoras, é um triângulo retângulo em . Como é um triângulo isósceles, segue que .
Além disso, .
Parece que ainda não temos ângulos suficientes. Precisamos então extrair outras informações do enunciado. O que ainda não usamos? A medida de , que é a distância entre o vértice e o ortocentro. O que podemos dizer sobre ela? Que é o dobro da distância entre o circuncentro e o ponto médio do lado oposto. Em outras palavras, se é o ponto médio do lado , então
.
E o que isso nos ajuda? Observe que o triângulo . Ele possui o lado e um ângulo de . Parece que conseguimos usar alguma trigonometria aqui. Para isso, precisamos relacionar com outro lado do triângulo . Observe que . Assim, como é agudo,
.
Como e , segue que .
Proposição[]
Os pontos simétricos do ortocentro em relação a cada um dos pontos médios dos lados pertence ao circuncírculo, assim como os simétricos em relação aos próprios lados.
Exemplo (OBM 2019 - Nível 2)[]
Seja um triângulo acutângulo e um ponto qualquer sobre o lado . Seja o simétrico de em relação a e seja o simétrico de em relação a . A reta intersecta em enquanto a reta intersecta em . Prove que os pontos e estão sobre uma mesma circunferência.
Solução: Como conecta com seu simétrico em relação a , vale que é perpendicular a . Analogamente, é perpendicular a . Isso faz de o ortocentro de ... mas os simétricos do ortocentro (aqui, e ) pelos lados pertencem ao circuncírculo e o problema acabou!
Exemplo (Bay Area Math Olympiad 2013)[]
Seja um triângulo acutângulo e seu ortocentro. Prove que os circuncentros de , e formam um triângulo congruente a .
Solução: Refletindo o ortocentro através dos lados, temos pontos no circuncírculo. Isso significa que refletindo o circuncírculo através dos lados, teremos os circuncírculos de , e . Daí, temos que os circuncentros desse triângulo são os simétricos do circuncentro através dos lados. Seja o simétrico de em relação a , defina e analogamente. Podemos ver que, como pertence às mediatrizes dos lados, o segmento compartilha um ponto médio com , analogamente, e compartilham um ponto médio; sejam e esses pontos médios. Podemos ver, então, que é não só uma base média de , mas também de , de forma que . Fazendo argumentos equivalentes para os outros lados, temos uma congruência entre os dois triângulos pelo caso LLL.
Essa solução também alude a algumas homotetias entre , e .
Exemplo (Cone Sul 1998)[]
Seja o ortocentro do triângulo acutângulo e o ponto médio do lado . Seja o ponto em que a reta intersecta o arco (que não contém ) da circunferência circunscrita a . Seja o ponto de interseção da reta com a circunferência, distinto de . Demonstre que .
Solução: Na nossa solução aparece o ortocentro e o ponto médio de um dos lados. Vamos usar a proposição: o simétrico do ortocentro em relação a pertence ao circuncírculo. De fato, este simétrico é o ponto , de onde segue que é o ponto médio de .
Além disso, é o ponto médio do lado . Agora observe o quadrilátero . As diagonais dele se encontram no ponto médio. Com isso, ele é um paralelogramo.
Vamos aproveitar das propriedades dos quadriláteros mais uma vez. Observe que os segmentos que queremos provar que são iguais são diagonais do quadrilátero e que acabamos de mostrar que ele é um trapézio. Se mostrarmos que ele é isósceles, então as suas diagonais serão iguais, o que termina o problema.
Provemos então que . Para isto, é suficiente mostrarmos que , o que é verdade, pois é paralelo a e assim .
Ponto-Queue[]
É um ponto que aparece algumas vezes em configurações de ortocentro e que tem várias propriedades interessantes. Ele não tem um nome "oficial", mas foi chamado de Queue-Point neste artigo. Por curiosidade, "queue" significa "fila".
Dado um triângulo , seu triângulo órtico e seu ortocentro , o -ponto-queue, que chamaremos de , é a interseção dos circuncírculos de e , ou de com a circunferência de diâmetro .
Aqui seguem algumas de suas propriedades:
Colinearidade com o ortocentro, o ponto médio e o ponto diametralmente oposto[]
Sendo o ponto médio de e o ponto diametralmente oposto a em , sabemos que , e são colineares. Então, como , segue que também está nessa reta.
O ponto de encontro das retas tangentes[]
As retas tangentes a que passam por e se encontram em . Se é o ponto de encontro de com , então está na reta .
Como o ortocentro e o circuncentro são conjugados isogonais, segue que . Como é uma mediana de , segue que é uma simediana de , e portanto passa por .
AQ, EF e BC concorrem[]
Também provado aqui. Como é cíclico, se usarmos o Teorema do Eixo radical em , e , teremos a conclusão desejada. O ponto de encontro dessas retas, inclusive, é o conjugado harmônico de em relação a .
Q é centro de uma roto-homotetia[]
Como pertence a e , temos que e . Esse fato é apresentado aqui.
Junto com o fato de que , temos que , fato que é útil aqui.
Exemplo (Cone Sul 2019)[]
Seja um triângulo acutângulo com , e seja seu ortocentro. A circunferência de diâmetro intersecta a circunferência circunscrita de em . A tangente à circunferência circunscrita de por intersecta a reta em . Demonstrar que .
Solução: Claramente, é o Ponto-Queue de . Já é o centro da Circunferência de Apolônio que contém os pontos tais que . Mas pela proposição anterior, então pertence a essa circunferência, portanto .