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Um número tem paridade par se ele for par. Caso contrário, dizemos que ele tem paridade ímpar.

Exemplo (OBM 2009 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Uma formiga caminha no plano da seguinte maneira: inicialmente, ela anda 1 cm

OBM2009q5n2

em qualquer direção. Após, em cada passo, ela muda a direção da trajetória em 60^{\circ} para a esquerda ou direita e anda 1 cm nessa direção. É possível que ela retorne ao ponto de onde partiu em

(a) 2008 passos?

(b) 2009 passos?

Solução:

OBM2009q5n21

Por causa destes três ângulos de 120^{\circ} e pelo fato desta ser a medida dos ângulos internos de um hexágono regular, podemos montar um diagrama com os possíveis lugares onde a formiga pode chegar. Basta montarmos hexágonos regulares com lados de 1 cm , conforme a figura a seguir:

OBM2009q5n22

(a) Este caso é possível. Vamos mostrar uma maneira da formiga fazer isto.

OBM2009q5n23

Basta que a formiga dê 333 voltas no hexágono (333.6=1998 passos). Faltam 10. Basta que ela faça conforme representado nos dois hexágonos "grudados" da figura acima.

(b) Pinte as posições do diagrama de branco e preto, alternadamente. Se uma formiga está em uma bolinha branca, após um passo, ela irá parar em uma bolinha preta (e vice-versa). Suponha, sem perda de generalidade, que a formiga comece em uma bolinha preta.

Após um número par de passos, ela estará em uma bolinha preta, enquanto após um número ímpar de passos, ela estará em uma bolinha branca. Ou seja, depois de 2009 passos ela estará em uma bolinha branca e, portanto, não poderá voltar para a posição original.

Exemplo (Cone Sul 1991) Editar

Sabe-se que o número de soluções reais do seguinte sistema é finito. Prove que este sistema tem uma quantidade par de soluções.

(y^2+6)(x-1)=y(x^2+1)

(x^2+6)(y-1)=x(y^2+1).

Solução:

Observe que se (x,y)=(a,b) é uma solução, então (x,y)=(b,a) também é. Desta forma, se a \neq b, então as soluções (a,b) e (b,a) vêm aos pares.

E as soluções em que x=y? Neste caso,

(x^2+6)(x-1)=x(x^2+1) \Leftrightarrow x^2-5x+6=0

De onde segue que as soluções nestas condições são (x,y)=(2,2) e (3,3). Portanto, existe uma quantidade par de soluções.

Paridade e OperaçõesEditar

Sobre a soma e paridade dos números:

  • A soma de dois números pares resulta em um número par.
  • A soma de dois números ímpares resulta em um número par.
  • A soma de um par com um ímpar resulta em um ímpar.

As afirmações acima podem ser resumidas na seguinte frase: "a soma de dois inteiros é par se, e somente se, eles possuem a mesma paridade" ou ainda "a soma de dois números é ímpar se, e somente se, eles possuem paridades diferentes".

O que dissemos anterior continua verdade se trocarmos a palavra "soma" pela "diferença".

Já se quisermos nos referir ao produto e a paridade dos números:

  • O produto de dois número pares é um número par.
  • O produto de dois números ímpares é um número ímpar.
  • O produto de um número par por um número ímpar é um número par.

As afirmações anteriores podem ser resumidas na seguinte frase: "o produto de dois números é par se, e somente se, um dos fatores é par" ou ainda "o produto de dois números é ímpar se, e somente se, nenhum dos fatores é par.

Exemplo (Cone Sul 1991)Editar

Um jogo é composto por 9 moedas (pretas e brancas) arranjadas na seguinte posição (ver figura 1). Se você escolher 1 moeda na borda do quadrado, esta moeda e suas vizinhas mudam de cor. Se você escolher a moeda do centro, ela não muda de cor, mas as outras 8 mudam. Aqui está um exemplo com 9 moedas brancas, e as mudanças de suas cores, escolhido a moeda dita: (ver figura 2). É possível, começando com 9 moedas brancas, ter 9 moedas pretas?

Figura 1
Figura 2

Solução:

Vamos focar na paridade de alguma das quantidades. Queremos provar que é impossível termos 9 moedas pretas. Para isto, é suficiente mostrarmos que a quantidade de moedas pretas é sempre par. Como podemos fazer isto? Observe que inicialmente temos uma quantidade par de moedas pretas (afinal temos 0 delas). Se provarmos que a paridade de moedas pretas não se altera com as escolhas, então nosso problema estará resolvido.

Segundo o enunciado, se você escolher 1 moeda na borda do quadrado, esta moeda e suas vizinhas mudam de cor. Neste caso, mudará de cor uma quantidade par de moedas. Desta forma, a paridade da quantidade de moedas brancas que mudaram será a mesma que a paridade da de moedas ímpares. Com isso, após a troca, a paridade da quantidade de moedas brancas e pretas permanece a mesma.

O mesmo acontece quando a moeda escolhida estiver no centro. Portanto, a quantidade de moedas pretas é sempre par, de onde segue que nunca pode ser igual a 9.

Outros Fatos Sobre Paridade Editar

Para x e n inteiros:

  • Se x^n é par, então x é par.
  • Se x^n é ímpar, então x é ímpar.

Representação Algébrica de Pares e Ímpares Editar

O inteiro x é par se, e somente se, existe k inteiro tal que x=2k. Além disso, ele é ímpar se, e somente se, existe k inteiro tal que x=2k+1.