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Um número tem paridade par se ele for par. Caso contrário, dizemos que ele tem paridade ímpar.

Exemplo (Cone Sul) Editar

Sabe-se que o número de soluções reais do seguinte sistema é finito. Prove que este sistema tem uma quantidade par de soluções.

(y^2+6)(x-1)=y(x^2+1)

(x^2+6)(y-1)=x(y^2+1).

Solução:

Observe que se (x,y)=(a,b) é uma solução, então (x,y)=(b,a) também é. Desta forma, se a \neq b, então as soluções (a,b) e (b,a) vêm aos pares.

E as soluções em que x=y? Neste caso,

(x^2+6)(x-1)=x(x^2+1) \Leftrightarrow x^2-5x+6=0

De onde segue que as soluções nestas condições são (x,y)=(2,2) e (3,3). Portanto, existe uma quantidade par de soluções.

Paridade e contasEditar

A soma de dois inteiros é par se, e somente se, eles possuem a mesma paridade.

Exemplo (Cone Sul)Editar

Um jogo é composto por 9 moedas (pretas e brancas) arranjadas na seguinte posição (ver figura 1). Se você escolher 1 moeda na borda do quadrado, esta moeda e suas vizinhas mudam de cor. Se você escolher a moeda do centro, ela não muda de cor, mas as outras 8 mudam. Aqui está um exemplo com 9 moedas brancas, e as mudanças de suas cores, escolhido a moeda dita: (ver figura 2). É possível, começando com 9 moedas brancas, ter 9 moedas pretas?

Figura 1
Figura 2


Solução:

Vamos focar na paridade de alguma das quantidades. Queremos provar que é impossível termos 9 moedas pretas. Para isto, é suficiente mostrarmos que a quantidade de moedas pretas é sempre par. Como podemos fazer isto? Observe que inicialmente temos uma quantidade par de moedas pretas (afinal temos 0 delas). Se provarmos que a paridade de moedas pretas não se altera com as escolhas, então nosso problema estará resolvido.

Segundo o enunciado, se você escolher 1 moeda na borda do quadrado, esta moeda e suas vizinhas mudam de cor. Neste caso, mudará de cor uma quantidade par de moedas. Desta forma, a paridade da quantidade de moedas brancas que mudaram será a mesma que a paridade da de moedas ímpares. Com isso, após a troca, a paridade da quantidade de moedas brancas e pretas permanece a mesma.

O mesmo acontece quando a moeda escolhida estiver no centro. Portanto, a quantidade de moedas pretas é sempre par, de onde segue que nunca pode ser igual a 9.

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