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Se p é um número primo e a não é divisível por p, então

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.

Exemplo (OBM 2008 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Prove que existem infinitos inteiros positivos n tais que

\frac{5^{n-2}-1}{n}

é um inteiro.

Solução: Conhecemos algo parecido com isso? Sim: o Pequeno Teorema de Fermat nos diz que se p é um número primo e 5 não é divisível por p (o que neste caso, equivale a dizer que p é diferente de 5), então

5^{p-1} \equiv 1 \pmod{p},

ou seja, \frac{5^{p-1}-1}{p} é inteiro. Se multiplicarmos por um inteiro, o resultado continua um inteiro. Tem como multiplicarmos por alguém e o resultado ser da forma 5^x-1 para algum x inteiro? Sim: se multiplicarmos o número por 5^{p-1}+1, teremos:

\frac{5^{2p-2}-1}{p}.

Podemos começar a suspeitar que para n=2p, para infinitos primos p, o resultado é verdadeiro. Para isto, devemos provar que

\frac{5^{2p-2}-1}{2p}

é inteiro para infinitos primos p. Observe que \frac{5^{p+1}+1}{2} é inteiro, pois 5^{p+1}+1 é par. Logo,

\frac{5^{2p-2}-1}{2p}=\frac{5^{p-1}-1}{p}.\frac{5^{p+1}+1}{2}

é inteiro, para todo p diferente de 5.