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Se $ p $ é um número primo e $ a $ não é divisível por $ p $, então

$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $.

Exemplo (OBM 2008 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Prove que existem infinitos inteiros positivos $ n $ tais que

$ \frac{5^{n-2}-1}{n} $

é um inteiro.

Solução: Conhecemos algo parecido com isso? Sim: o Pequeno Teorema de Fermat nos diz que se $ p $ é um número primo e $ 5 $ não é divisível por $ p $ (o que neste caso, equivale a dizer que $ p $ é diferente de $ 5 $), então

$ 5^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $,

ou seja, $ \frac{5^{p-1}-1}{p} $ é inteiro. Se multiplicarmos por um inteiro, o resultado continua um inteiro. Tem como multiplicarmos por alguém e o resultado ser da forma $ 5^x-1 $ para algum $ x $ inteiro? Sim: se multiplicarmos o número por $ 5^{p-1}+1 $, teremos:

$ \frac{5^{2p-2}-1}{p} $.

Podemos começar a suspeitar que para $ n=2p $, para infinitos primos $ p $, o resultado é verdadeiro. Para isto, devemos provar que

$ \frac{5^{2p-2}-1}{2p} $

é inteiro para infinitos primos $ p $. Observe que $ \frac{5^{p+1}+1}{2} $ é inteiro, pois $ 5^{p+1}+1 $ é par. Logo,

$ \frac{5^{2p-2}-1}{2p}=\frac{5^{p-1}-1}{p}.\frac{5^{p+1}+1}{2} $

é inteiro, para todo $ p $ diferente de $ 5 $.