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Um polígono é uma figura formada por uma sequência de pontos $ A_1,A_2,\dots,A_n,A_{n+1} $, para $ n \geq 3 $ e pelos segmentos $ A_1A_2,A_2A_3,\dots,A_{n-1}A_n,A_nA_{n+1} $ tais que

(i)$ A_{n+1}=A_1 $;

(ii) os lados da poligonal se intersectam somente em suas extremidades;

(iii) dois lados com mesma extremidade não pertencem a mesma reta. Em outras palavras três vértices consecutivos não podem ser colineares.

Na definição, os pontos $ A_1,A_2,\dots,A_n $ são chamados de vértices e os segmentos $ A_1A_2,A_2A_3,\dots,A_{n-1}A_n,A_nA_{n+1} $ de lados.

Representaremos este polígono por $ A_1A_2A_3\dots A_n $.

DefiniçãoEditar

Diagonal é um segmento que une dois vértices que não são consecutivos.

Classificação Devido ao Número de Lados Editar

Dependendo do número de lados, cada polígono recebe um nome:

  • Triângulo = polígono de $ 3 $ lados.
  • Quadrilátero = polígono de $ 4 $ lados.
  • Pentágono = polígono de $ 5 $ lados.
  • Hexágono = polígono de $ 6 $ lados.
  • Heptágono = polígono de $ 7 $ lados.
  • Octógono = polígono de $ 8 $ lados.
  • Eneágono = polígono de $ 9 $ lados.
  • Decágono = polígono de $ 10 $ lados.
  • $ n $-ágono = polígono de $ n $ lados.

ProposiçãoEditar

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de $ n $ lados é $ 180^{\circ}.(n-2) $.

Polígonos Regulares Editar

São aqueles que possuem lados e ângulos de mesma medida.

Proposição Editar

Cada ângulo interno de um polígono convexo de $ n $ lados é $ \frac{180^{\circ}.(n-2)}{n} $.

Exemplo (OBM 2008 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Seja $ P $ um pentágono convexo com todos os lados iguais. Prove que se dois dos ângulos de $ P $ somam $ 180 $ graus, então é possível cobrir o plano com $ P $, sem sobreposições.

Solução: Para que os pentágonos se encaixem sem que haja "buracos", precisamos encontrar ângulos cuja soma é $ 360^{\circ} $. Estes ângulos que somam $ 180^{\circ} $ podem ser consecutivos ou não. Por isso, dividiremos em casos:

1º Caso: Os ângulos que somam $ 180^{\circ} $ são consecutivos.

Chamemos de $ \angle A $ e $ \angle B $ estes ângulos consecutivos e $ \angle C $, $ \angle D $ e $ \angle E $ os outros ângulos.

OBM2008q2n21

Como

$ \angle A + \angle B+ \angle C+\angle D + \angle E = 180^{\circ}(5-2)=540^{\circ} $

e

$ \angle A + \angle B=180^{\circ} $,

segue que $ \angle C+\angle D + \angle E=360^{\circ} $. Logo, para cobrirmos o plano, basta colocarmos infinitas destas faixas como acima.

2º Caso: Os ângulos que somam $ 180^{\circ} $não são consecutivos.

Digamos que estes ângulos que somam $ 180^{\circ} $ são $ \angle A $ e $ \angle C $. Então $ \angle B+\angle D + \angle E=360^{\circ} $.

Vamos aproveitar este fato e construir hexágonos conforme a figura a seguir:

OBM2008q2n22
Para terminarmos, basta provarmos que se colocarmos vários hexágonos como o Hexágono $ \alpha $, conseguiremos cobrir o plano. Para isto, basta colocarmos infinitas faixas conforme a seguir.
OBM2008q2n23
E dá para fazer isso? Sim, pois $ \angle B+\angle D + \angle E=360^{\circ} $.