Polígonos

Um polígono é uma figura formada por uma sequência de pontos $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},A_{n+1}$, para $n \ge 3$ e pelos segmentos $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},\dots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{n+1}$ tais que

(i)$A_{n+1}=A_{1}$;

(ii) os lados da poligonal se intersectam somente em suas extremidades;

(iii) dois lados com mesma extremidade não pertencem a mesma reta. Em outras palavras três vértices consecutivos não podem ser colineares.

Na definição, os pontos $A_1,A_2,\dots,A_n$ são chamados de vértices e os segmentos $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},\dots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{n+1}$ de lados.

Representaremos este polígono por $A_{1}A_{2}A_{3}\dots A_{n}$.

Definição

Diagonal é um segmento que une dois vértices que não são consecutivos.

Classificação Devido ao Número de Lados

Dependendo do número de lados, cada polígono recebe um nome:

• Triângulo = polígono de $3$ lados.
• Quadrilátero = polígono de $4$ lados.
• Pentágono = polígono de $5$ lados.
• Hexágono = polígono de $6$ lados.
• Heptágono = polígono de $7$ lados.
• Octógono = polígono de $8$ lados.
• Eneágono = polígono de $9$ lados.
• Decágono = polígono de $10$ lados.
• $n$-ágono = polígono de $n$ lados.

Proposição

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de $n$ lados é $180^{\circ }.(n-2)$.

Polígonos Regulares

São aqueles que possuem lados e ângulos de mesma medida.

Proposição

Cada ângulo interno de um polígono convexo de $n$ lados é ${\frac {180^{\circ }.(n-2)}{n}}$.

Exemplo (OBM 2008 - 3ª Fase - Nível 2)

Seja $P$ um pentágono convexo com todos os lados iguais. Prove que se dois dos ângulos de $P$ somam $180$ graus, então é possível cobrir o plano com $P$, sem sobreposições.

Solução: Para que os pentágonos se encaixem sem que haja "buracos", precisamos encontrar ângulos cuja soma é $360^{\circ}$. Estes ângulos que somam $180^{\circ}$ podem ser consecutivos ou não. Por isso, dividiremos em casos:

1º Caso: Os ângulos que somam $180^{\circ}$ são consecutivos.

Chamemos de $\angle A$ e $\angle B$ estes ângulos consecutivos e $\angle C$, $\angle D$ e $\angle E$ os outros ângulos.

Como

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=180^{\circ }(5-2)=540^{\circ }$

e

$\angle A+\angle B=180^{\circ }$,

segue que $\angle C+\angle D+\angle E=360^{\circ }$. Logo, para cobrirmos o plano, basta colocarmos infinitas destas faixas como acima.

2º Caso: Os ângulos que somam $180^{\circ}$não são consecutivos.

Digamos que estes ângulos que somam $180^{\circ}$ são $\angle A$ e $\angle C$. Então $\angle B+\angle D+\angle E=360^{\circ }$.

Vamos aproveitar este fato e construir hexágonos conforme a figura a seguir:

Para terminarmos, basta provarmos que se colocarmos vários hexágonos como o Hexágono $\alpha$, conseguiremos cobrir o plano. Para isto, basta colocarmos infinitas faixas conforme a seguir.

E dá para fazer isso? Sim, pois $\angle B+\angle D+\angle E=360^{\circ }$.