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Um polinômio em uma variável sobre x em \mathbb{C} é a expressão

P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n,

onde a_0,a_1,a_2,\dots,a_n são números complexos chamados de coeficientes. Se a_n é diferente de zero, então n é chamado de grau do polinômio. O grau de um polinômio P pode ser denotado por \operatorname{deg}P (ou \partial P).

Se P(x)=0 para todo x, dizemos que P é um polinômio nulo.

Se P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n é um polinômio e a_n é diferente de zero, então ele é chamado de coeficiente líder. Se o coeficiente líder de um polinômio P é igual a 1, então P é chamado de mônico.

Teorema das Raízes RacionaisEditar

Sejam a_0,a_1,\dots,a_n números inteiros, a e b primos entre si. Se x=\frac{a}{b} é raiz da equação

P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx_n,

então a|a_0 e b|a_n.

TeoremaEditar

Se P(x) possui coeficientes reais e z é raiz de P(x), então \overline{z} também é.

Paralelo com Números Inteiros Editar

Várias definições para números inteiros podem ser generalizadas para polinômios.

Algoritmo da DivisãoEditar

Sejam F(x) e G(x) polinômios com G(x) não nulo. Então existem Q(x) e R(x) polinômios (e são únicos) tais que

F(x)=Q(x)G(x)+R(x),

onde \operatorname{deg}R<\operatorname{G} ou R(x) é o polinômio nulo.

Podemos provar que tais Q e R existem e estão unicamente definidos por indução sobre \partial A - \partial B.

Teorema do RestoEditar

Se P(x) é um polinômio, então o resto da divisão de P(x) por x-a é P(a).

Divisibilidade Editar

O polinômio A divide o polinômio B, A \, | \, B , se existe um polinômio K tal que B=K \cdot A. Em um dado corpo, as propriedades de divisibilidade de inteiros também se aplicam:

(i) :A \,|\, B \Rightarrow A \,|\, B + C\cdot A
, para qualquer polinômio C.

(ii) A \,|\, B, A \,|\, C \Rightarrow A \,|\,M\cdot B + N \cdot C, para quaisquer polinômios MN

Teorema do FatorEditar

Seja P(x) um polinômio. Então x=a é raiz de P(x) se, e somente se, (x-a) | P(x).

Exemplo (IMO 1974)Editar

Seja P um polinômio não constante com coeficientes inteiros. Se n(P) é o número de inteiros distintos k tais que (P(k))^2=1, prove que n(P)-\operatorname{deg}P \leq 2, onde \operatorname{deg}P denota o grau do polinômio P.

Solução: Para começar vamos introduzir uma boa notação. Considere R o conjunto dos inteiros k tais que (P(k))^2=1. Observe que (P(k))^2=1 se, e somente se, P(k)=1 ou -1. Para nos organizarmos bem então, faremos R_{+} o conjunto dos inteiros k tais P(k)=1, enquanto R_{-} será o conjunto dos inteiros k tais que P(k)=-1.

Queremos mostrar que |R| \leq \operatorname{deg}P + 2. Vamos começar com alguns casos. Se R_{+} é vazio, então |R|=|R_{-}| \leq \operatorname{deg}P < \operatorname{deg}P+2, o que resolve o problema. O mesmo ocorre se R_{-} é vazio. Resolveremos os casos em que R_{+} e R_{-} são não vazios.

No caso em que \operatorname{deg} P=1 pode ser feita imediatamente. De fato, neste caso,

|R| = |R_{+}|+|R_{-}| \leq 2 \operatorname{deg}P < \operatorname{deg}P+2.

Já quando \operatorname{deg} P \geq 2, basta provarmos que |R| \leq 4. Com efeito, se isto ocorre, então

|R| \leq 4 \leq \operatorname{deg} P+2.

A estratégia aqui será a seguinte: mostraremos que se a pertence a R_{+}, então os elementos de R_{-} não estão muito longe de a e não existem muitas possibilidades para elementos deste conjunto. Vamos entender melhor isso.

Se a pertence a R_{+}, então P(a)=1. Queremos falar sobre os elementos de R_{-}, ou seja, aqueles b tais que P(b)=-1, isto é, tais que P(b)+1=0. Logo, se b pertence a R_{-}, então b é raiz de P(x)+1. Considere b_1,b_2,\dots,b_k todos os elementos de R_{-}. Então podemos escrever

P(x)+1=(x-b_1)(x-b_2)\dots(x-b_k)Q(x),

onde Q(x) é um polinômio com coeficientes inteiros. Se fizermos x=a e usarmos que P(a)=1

(a-b_1)(a-b_2)\dots(a-b_k)Q(a)=2.

Desta forma, os fatores (a-b_1),(a-b_2),\dots,(a-b_k) só podem ser -1,1,2 ou -2, sendo que não se pode ter dois fatores iguais a 2 ou dois fatores iguais a -2 ou ainda um fator igual a 2 e outro igual a -2. Desta maneira, R_{-} \subset \{a-2,a-1,a+1\} ou R_{-} \subset \{a-1,a+1,a+2\}.

Analogamente, se b pertence a R_{-}, então R_{+} \subset \{b-2,b-1,b+1\} ou R_{+} \subset \{b-1,b+1,b+2\}.

Vamos, agora, provar o que realmente queremos: |R| \leq 4. Suponha por absurdo que R=\{c_1,c_2,\dots,c_m\}, com m \geq 5. Podemos considerar a=c_1<c_2<\dots<c_m e supor, sem perda de generalidade, que a pertence a R_{+}.

Por causa do que acabamos de provar, R_{-} \subset \{a+1,a+2\} (pois a-1 e a-2 não pertencem a R) e \{c_4,c_5,\dots,c_m\} \subset R_{+}.

Como estamos no caso em que R_{-} é não vazio, segue que c_2 ou c_3 pertencem a R_{-}. Porém observe que c_2 e c_3 não podem pertencer a R_{-} ao mesmo tempo. De fato, já provamos que se b pertence a R_{-}, então R_{+} \subset \{b-2,b-1,b+1\} ou R_{+} \subset \{b-1,b+1,b+2\}.

Assim, R_{-} possui somente um elemento, de onde segue que R_{+} possui no máximo três elementos. Assim, |R| \leq 4.

Proposição Editar

Sejam P um polinômio com coeficientes inteiros e a e b inteiros quaisquer. Então

a-b|P(a)-P(b).

CongruênciasEditar

Podemos definir congruências em módulo de um inteiro baseado na definição de divisibilidade; da mesma forma, podemos definir congruências em polinômios sobre um dado corpo:

A \equiv B \pmod M \Leftrightarrow M|A - B
.

.

As propriedades de congruências em inteiros também são válidas, já que todas podem ser demonstradas a partir da definição de divisibilidade.

Da mesma forma que congruências módulo um inteiro n determinam grupos, projetando \mathbb{Z} em \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}, congruências módulo um polinômio p em um corpo F determinam uma projeção de F em F[x] / pF[x].

Teorema de Bézout Editar

Dados polinômios P_1, P_2, \cdots, P_n, existe uma combinação linear dos Pi´s que resulta em seu máximo divisor comum P, isto é,

\exists a_1, a_2, \cdots, a_n|\sum_{i = 1}^{n}a_iP_i(x) = P(x)

Polinômios irredutíveis Editar

Polinômios irredutíveis são o análogo para polinômios em um corpo aos números primos em . Um polinômio P em um corpo F é irredutível em F se  ou  para AB em F. Note que se um polinômio é redutível em F, a mesma fatoração é válida em F / pF; ou, na forma contrapositiva, irredutibilidade em F / pF implica irredutibilidade em F.

(teorema da raiz racional, lema de Gauss, critério de Eisenstein)

Fatoração única Editar

Podemos demonstrar que há uma fatoração única de polinômios em polinômios irredutíveis, a menos de um fator constante, de forma análoga à demonstração de fatoração única de inteiros em primos, a menos de sinal.

Teorema chinês dos restos Editar

tabelas de diferença Editar

Polinômio minimal de um número algébrico Editar

Em uma extensão de corpo E/F, dado um elemento α de E que é algébrico em F (isto é, é raíz de algum polinômio em F), o polinômio minimal de α é o polinômio mônico (coeficiente líder 1) p, com coeficientes em F, de menor grau possível que tem α como raíz (p(α) = 0). O polinômio minimal de α é irredutível em F, e divide qualquer polinômio em F que tenha α como raíz.

Raízes da unidade como marcadores Editar

Análise Editar

Teorema fundamental da álgebra Editar

Um polinômio  de grau n possui n raízes z_1,z_2,\dots,z_n (não necessariamente distintas).

Teorema da Unicidade do Polinômio InterpoladorEditar

Sejam P(x) e Q(x) polinômios, cada um deles com graus menores ou iguais a n e P(x_i)=Q(x_i) para i=1,2,\dots,m onde x_1,x_2,\dots,x_m são números complexos dois a dois distintos e m>n. Então P e Q são idênticos.

Fatoração em polinômios com coeficientes reais Editar

Raízes complexas que não são reais aparecem aos pares em polinômios com coeficientes reais, já que . Como , a fatoração em polinômios irredutíveis em  é "altamente trivial":

Limites Editar

Para valores suficientemente grandes, o coeficiente líder de um polinômio "domina" o comportamento de um polinômio; isto é, se P(x) = axn + Q(x),  então

Continuidade Editar

Polinômios são funções contínuas. Em particular, vale o Teorema de Bolzano: para polinômios de coeficientes reais em números reais, se P(x0) = y0 e P(x1) = y1, então para qualquer valor y entre y0 e y1, há um valor de x entre x0 e x1 tal que P(x) = y. Em particular, se x0 < 0 e x1 > 0 então P possui uma raiz real entre x0 e x1.

Polinômios em m variáveisEditar

São expressões da forma

P(x_1,x_2,\dots,x_m)={\displaystyle \sum_{k_1,k_2,\dots,k_m}c(k_1,k_2,\dots,k_m)x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}},

onde k_1,k_2,\dots,k_m são inteiros não negativos.

Polinômios SimétricosEditar

Um polinômio é chamado de simétrico se ele não muda ao permutarmos as variáveis.

Referências BibliográficasEditar

[1] E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996. 

NOTA Editar

Alguns trechos foram recuperados da Olimpédia - Backup