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Paralelo com Números Inteiros Editar

Várias definições para números inteiros podem ser generalizadas para polinômios.


Divisibilidade Editar

O polinômio A divide o polinômio B, A \, | \, B , se existe um polinômio K tal que B=K \cdot A. Em um dado corpo, as propriedades de divisibilidade de inteiros também se aplicam:

A \,|\, B \Rightarrow A \,|\, B + C\cdot A
, para qualquer polinômio C
A \,|\, B, A \,|\, C \Rightarrow A \,|\,M\cdot B + N \cdot C, para quaisquer polinômios MN

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Congruências Editar

Podemos definir congruências em módulo de um inteiro baseado na definição de divisibilidade; da mesma forma, podemos definir congruências em polinômios sobre um dado corpo:

A \equiv B \pmod M \Leftrightarrow M|A - B
.
.

As propriedades de congruências em inteiros também são válidas, já que todas podem ser demonstradas a partir da definição de divisibilidade.

Da mesma forma que congruências módulo um inteiro n determinam grupos, projetando \mathbb{Z} em \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}, congruências módulo um polinômio p em um corpo F determinam uma projeção de F em F[x] / pF[x].

Divisão euclidiana Editar

Podemos definir divisão euclidiana ("Teorema do Resto") em polinômios sob um dado corpo: dados polinômios AB, podemos definir a divisão euclidiana de A por Bcomo:

A = B \cdot Q + R, onde R \equiv 0 ou \partial R < \partial B

Podemos provar que tais Q e R existem e estão unicamente definidos por indução sobre \partial A - \partial B.


(inserir nota sobre algoritmo de divisão de polinômios)

Teorema de Bézout Editar

Dados polinômios P_1, P_2, \cdots, P_n, existe uma combinação linear dos Pi´s que resulta em seu máximo divisor comum P, isto é,

\exists a_1, a_2, \cdots, a_n|\sum_{i = 1}^{n}a_iP_i(x) = P(x)

Polinômios irredutíveis Editar

Polinômios irredutíveis são o análogo para polinômios em um corpo aos números primos em . Um polinômio P em um corpo F é irredutível em F se  ou  para AB em F. Note que se um polinômio é redutível em F, a mesma fatoração é válida em F / pF; ou, na forma contrapositiva, irredutibilidade em F / pF implica irredutibilidade em F.

(teorema da raiz racional, lema de Gauss, critério de Eisenstein)

Fatoração única Editar

Podemos demonstrar que há uma fatoração única de polinômios em polinômios irredutíveis, a menos de um fator constante, de forma análoga à demonstração de fatoração única de inteiros em primos, a menos de sinal.

Teorema chinês dos restos Editar

polinômio interpolador de Lagrange Editar

Dado um conjunto de k+1 pontos:

com todos xj distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:

,

com polinômios da base de Lagrange dados por:

A definição implica que lj(x) = 0 para x = xi se i é diferente de j, e lj(xj) = 1. Por conseqüência, L(x) é um polinômio que passa pelos k+1 pontos dados (e em particular, L(x) é o único polinômio de grau menor ou igual a k que passa pelos pontos).

tabelas de diferença Editar

Polinômio minimal de um número algébrico Editar

Em uma extensão de corpo E/F, dado um elemento α de E que é algébrico em F (isto é, é raíz de algum polinômio em F), o polinômio minimal de α é o polinômio mônico (coeficiente líder 1) p, com coeficientes em F, de menor grau possível que tem α como raíz (p(α) = 0). O polinômio minimal de α é irredutível em F, e divide qualquer polinômio em F que tenha α como raíz.

Raízes da unidade como marcadores Editar

Análise Editar

Teorema fundamental da álgebra Editar

Um polinômio  de grau n possui n raízes zi (não necessariamente distintas) tal que P(zi) = 0. Isto é,

Por conseqüência; um polinômio definido em  possuí até n raízes, já que qualquer raiz em A é também uma raíz em .

Fatoração em polinômios com coeficientes reais Editar

Raízes complexas que não são reais aparecem aos pares em polinômios com coeficientes reais, já que . Como , a fatoração em polinômios irredutíveis em  é "altamente trivial":

Limites Editar

Para valores suficientemente grandes, o coeficiente líder de um polinômio "domina" o comportamento de um polinômio; isto é, se P(x) = axn + Q(x),  então

Continuidade Editar

Polinômios são funções contínuas. Em particular, vale o Teorema de Bolzano: para polinômios de coeficientes reais em números reais, se P(x0) = y0 e P(x1) = y1, então para qualquer valor y entre y0 e y1, há um valor de x entre x0 e x1 tal que P(x) = y. Em particular, se x0 < 0 e x1 > 0 então P possui uma raiz real entre x0 e x1.

NOTA Editar

Recuperado da Olimpédia - Backup

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