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Um polinômio em uma variável sobre $ x $ em $ \mathbb{C} $ é a expressão

$ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n, $

onde $ a_0,a_1,a_2,\dots,a_n $ são números complexos chamados de coeficientes. Se $ a_n $ é diferente de zero, então $ n $ é chamado de grau do polinômio. O grau de um polinômio $ P $ pode ser denotado por $ \operatorname{deg}P $ (ou $ \partial P $).

Se $ P(x)=0 $ para todo $ x $, dizemos que $ P $ é um polinômio nulo.

Se $ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n $ é um polinômio e $ a_n $ é diferente de zero, então ele é chamado de coeficiente líder. Se o coeficiente líder de um polinômio $ P $ é igual a $ 1 $, então $ P $ é chamado de mônico.

Um número complexo $ a $ é chamado de raiz do polinômio $ P(x) $ quando $ P(a)=0 $.

Teorema das Raízes RacionaisEditar

Sejam $ a_0,a_1,\dots,a_n $ números inteiros, $ a $ e $ b $ primos entre si. Se $ x=\frac{a}{b} $ é raiz da equação

$ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx_n $, então $ a|a_0 $ e $ b|a_n $.

TeoremaEditar

Se $ P(x) $ possui coeficientes reais e $ z $ é raiz de $ P(x) $, então $ \overline{z} $ também é.

Paralelo com Números Inteiros Editar

Várias definições para números inteiros podem ser generalizadas para polinômios.

Algoritmo da DivisãoEditar

Sejam $ F(x) $ e $ G(x) $ polinômios com $ G(x) $ não nulo. Então existem $ Q(x) $ e $ R(x) $ polinômios (e são únicos) tais que

$ F(x)=Q(x)G(x)+R(x) $,

onde $ \operatorname{deg}R<\operatorname{G} $ ou $ R(x) $ é o polinômio nulo.

Podemos provar que tais $ Q $ e $ R $ existem e estão unicamente definidos por indução sobre $ \partial A - \partial B $.

Teorema do RestoEditar

Se $ P(x) $ é um polinômio, então o resto da divisão de $ P(x) $ por $ x-a $ é $ P(a) $.

Divisibilidade Editar

O polinômio $ A $ divide o polinômio $ B $, $ A \, | \, B $ , se existe um polinômio $ K $ tal que $ B=K \cdot A $. Em um dado corpo, as propriedades de divisibilidade de inteiros também se aplicam:

(i) :$ A \,|\, B \Rightarrow A \,|\, B + C\cdot A $ , para qualquer polinômio $ C $.

(ii) $ A \,|\, B, A \,|\, C \Rightarrow A \,|\,M\cdot B + N \cdot C $, para quaisquer polinômios $ M $$ N $

Teorema do Fator (ou Teorema de Bézout)Editar

Seja $ P(x) $ um polinômio e $ a $ um número complexo. Então $ P(a)=0 $ se, e somente se, $ (x-a) | P(x) $.

Exemplo (IMO 1974)Editar

Seja $ P $ um polinômio não constante com coeficientes inteiros. Se $ n(P) $ é o número de inteiros distintos $ k $ tais que $ (P(k))^2=1 $, prove que $ n(P)-\operatorname{deg}P \leq 2 $, onde $ \operatorname{deg}P $ denota o grau do polinômio $ P $.

Solução: Para começar vamos introduzir uma boa notação. Considere $ R $ o conjunto dos inteiros $ k $ tais que $ (P(k))^2=1 $. Observe que $ (P(k))^2=1 $ se, e somente se, $ P(k)=1 $ ou $ -1 $. Para nos organizarmos bem então, faremos $ R_{+} $ o conjunto dos inteiros $ k $ tais $ P(k)=1 $, enquanto $ R_{-} $ será o conjunto dos inteiros $ k $ tais que $ P(k)=-1 $.

Queremos mostrar que $ |R| \leq \operatorname{deg}P + 2 $. Vamos começar com alguns casos. Se $ R_{+} $ é vazio, então $ |R|=|R_{-}| \leq \operatorname{deg}P < \operatorname{deg}P+2 $, o que resolve o problema. O mesmo ocorre se $ R_{-} $ é vazio. Resolveremos os casos em que $ R_{+} $ e $ R_{-} $ são não vazios.

No caso em que $ \operatorname{deg} P=1 $ pode ser feita imediatamente. De fato, neste caso,

$ |R| = |R_{+}|+|R_{-}| \leq 2 \operatorname{deg}P < \operatorname{deg}P+2. $

Já quando $ \operatorname{deg} P \geq 2 $, basta provarmos que $ |R| \leq 4 $. Com efeito, se isto ocorre, então

$ |R| \leq 4 \leq \operatorname{deg} P+2 $.

A estratégia aqui será a seguinte: mostraremos que se $ a $ pertence a $ R_{+} $, então os elementos de $ R_{-} $ não estão muito longe de $ a $ e não existem muitas possibilidades para elementos deste conjunto. Vamos entender melhor isso.

Se $ a $ pertence a $ R_{+} $, então $ P(a)=1 $. Queremos falar sobre os elementos de $ R_{-} $, ou seja, aqueles $ b $ tais que $ P(b)=-1 $, isto é, tais que $ P(b)+1=0 $. Logo, se $ b $ pertence a $ R_{-} $, então $ b $ é raiz de $ P(x)+1 $. Considere $ b_1,b_2,\dots,b_k $ todos os elementos de $ R_{-} $. Então podemos escrever

$ P(x)+1=(x-b_1)(x-b_2)\dots(x-b_k)Q(x), $

onde $ Q(x) $ é um polinômio com coeficientes inteiros. Se fizermos $ x=a $ e usarmos que $ P(a)=1 $

$ (a-b_1)(a-b_2)\dots(a-b_k)Q(a)=2. $

Desta forma, os fatores $ (a-b_1),(a-b_2),\dots,(a-b_k) $ só podem ser $ -1,1,2 $ ou $ -2 $, sendo que não se pode ter dois fatores iguais a $ 2 $ ou dois fatores iguais a $ -2 $ ou ainda um fator igual a $ 2 $ e outro igual a $ -2 $. Desta maneira, $ R_{-} \subset \{a-2,a-1,a+1\} $ ou $ R_{-} \subset \{a-1,a+1,a+2\} $.

Analogamente, se $ b $ pertence a $ R_{-} $, então $ R_{+} \subset \{b-2,b-1,b+1\} $ ou $ R_{+} \subset \{b-1,b+1,b+2\} $.

Vamos, agora, provar o que realmente queremos: $ |R| \leq 4 $. Suponha por absurdo que $ R=\{c_1,c_2,\dots,c_m\} $, com $ m \geq 5 $. Podemos considerar $ a=c_1<c_2<\dots<c_m $ e supor, sem perda de generalidade, que $ a $ pertence a $ R_{+} $.

Por causa do que acabamos de provar, $ R_{-} \subset \{a+1,a+2\} $ (pois $ a-1 $ e $ a-2 $ não pertencem a $ R $) e $ \{c_4,c_5,\dots,c_m\} \subset R_{+} $.

Como estamos no caso em que $ R_{-} $ é não vazio, segue que $ c_2 $ ou $ c_3 $ pertencem a $ R_{-} $. Porém observe que $ c_2 $ e $ c_3 $ não podem pertencer a $ R_{-} $ ao mesmo tempo. De fato, já provamos que se $ b $ pertence a $ R_{-} $, então $ R_{+} \subset \{b-2,b-1,b+1\} $ ou $ R_{+} \subset \{b-1,b+1,b+2\} $.

Assim, $ R_{-} $ possui somente um elemento, de onde segue que $ R_{+} $ possui no máximo três elementos. Assim, $ |R| \leq 4 $.

Proposição Editar

Sejam $ P $ um polinômio com coeficientes inteiros e $ a $ e $ b $ inteiros quaisquer. Então

$ a-b|P(a)-P(b) $.

CongruênciasEditar

Podemos definir congruências em módulo de um inteiro baseado na definição de divisibilidade; da mesma forma, podemos definir congruências em polinômios sobre um dado corpo:

$ A \equiv B \pmod M \Leftrightarrow M|A - B . $

.

As propriedades de congruências em inteiros também são válidas, já que todas podem ser demonstradas a partir da definição de divisibilidade.

Da mesma forma que congruências módulo um inteiro n determinam grupos, projetando $ \mathbb{Z} $ em $ \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} $, congruências módulo um polinômio p em um corpo F determinam uma projeção de F em F[x] / pF[x].

Teorema de Bézout Editar

Dados polinômios $ P_1, P_2, \cdots, P_n $, existe uma combinação linear dos Pi´s que resulta em seu máximo divisor comum P, isto é,

$ \exists a_1, a_2, \cdots, a_n|\sum_{i = 1}^{n}a_iP_i(x) = P(x) $

Polinômios irredutíveis Editar

Polinômios irredutíveis são o análogo para polinômios em um corpo aos números primos em . Um polinômio P em um corpo F é irredutível em F se  ou  para AB em F. Note que se um polinômio é redutível em F, a mesma fatoração é válida em F / pF; ou, na forma contrapositiva, irredutibilidade em F / pF implica irredutibilidade em F.

Para analisarmos se um polinômio é redutível ou não, podemos usar o critério de Eisenstein (estendido ou não).

Critério de Eisenstein (Estendido)Editar

Seja $ P(x)=a_nx^n+\dots+a_1+a_0 $ um polinômio com coeficientes inteiros. Se existem um primo $ p $ e um inteiro $ k $ tais que $ 0 \leq k <n $, $ p|a_0,a_1,\dots,a_k $, $ p\not| a_{k+1} $ e $ p^2 \not| a_0 $, então existe um polinômio de grau maior ou igual a $ k $ irredutível que divide $ P(x) $.

O Critério de Eiseinstein normal é o caso em que $ k=n-1 $, de onde podemos concluir que $ P(x) $ é um polinômio irredutível.

Fatoração Única Editar

Podemos demonstrar que há uma fatoração única de polinômios em polinômios irredutíveis, a menos de um fator constante, de forma análoga à demonstração de fatoração única de inteiros em primos, a menos de sinal.

Teorema chinês dos restos Editar

tabelas de diferença Editar

Polinômio minimal de um número algébrico Editar

Em uma extensão de corpo E/F, dado um elemento α de E que é algébrico em F (isto é, é raíz de algum polinômio em F), o polinômio minimal de α é o polinômio mônico (coeficiente líder 1) p, com coeficientes em F, de menor grau possível que tem α como raíz (p(α) = 0). O polinômio minimal de α é irredutível em F, e divide qualquer polinômio em F que tenha α como raíz.

Raízes da unidade como marcadores Editar

Análise Editar

Teorema fundamental da álgebra Editar

Um polinômio de grau $ n $, não constante e com coeficientes complexos possui $ n $ raízes complexas $ z_1,z_2,\dots,z_n $ (não necessariamente distintas).

Teorema da Unicidade do Polinômio InterpoladorEditar

Sejam $ P(x) $ e $ Q(x) $ polinômios, cada um deles com graus menores ou iguais a $ n $ e $ P(x_i)=Q(x_i) $ para $ i=1,2,\dots,m $ onde $ x_1,x_2,\dots,x_m $ são números complexos dois a dois distintos e $ m>n $. Então $ P $ e $ Q $ são idênticos.

Fatoração em polinômios com coeficientes reais Editar

Raízes complexas que não são reais aparecem aos pares em polinômios com coeficientes reais, já que . Como , a fatoração em polinômios irredutíveis em  é "altamente trivial":

Limites Editar

Para valores suficientemente grandes, o coeficiente líder de um polinômio "domina" o comportamento de um polinômio; isto é, se P(x) = axn + Q(x),  então

Continuidade Editar

Polinômios são funções contínuas. Em particular, vale o Teorema de Bolzano: para polinômios de coeficientes reais em números reais, se P(x0) = y0 e P(x1) = y1, então para qualquer valor y entre y0 e y1, há um valor de x entre x0 e x1 tal que P(x) = y. Em particular, se x0 < 0 e x1 > 0 então P possui uma raiz real entre x0 e x1.

Polinômios em $ m $ variáveisEditar

São expressões da forma

$ P(x_1,x_2,\dots,x_m)={\displaystyle \sum_{k_1,k_2,\dots,k_m}c(k_1,k_2,\dots,k_m)x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}}, $

onde $ k_1,k_2,\dots,k_m $ são inteiros não negativos.

Polinômios SimétricosEditar

Um polinômio é chamado de simétrico se ele não muda ao permutarmos as variáveis.

Referências BibliográficasEditar

[1] E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996. 

NOTA Editar

Alguns trechos foram recuperados da Olimpédia - Backup