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Seja C uma circunferência. Para cada ponto P qualquer, podemos associar um número que chamaremos de potência do ponto P. Este número será definido por OP^2-r^2, onde O e r são o centro e raio do círculo, respectivamente. Denotaremos este número por \text{Pot}_C P.

ProposiçãoEditar

Se A e B pertencem a uma circunferência \Gamma e A, B e P são colineares, então

\text{Pot}_C P = PA.PB.

Exemplo (Cone Sul)Editar

Seja P um ponto sob o círculo C. Encontre dois pontos Q e R no círculo, tal que P, Q e R são colineares e Q é o ponto médio do segmento PR. (Discuta o número de soluções).

Solução:

Observe que se encontrarmos onde fica o ponto Q, o ponto R pode ser facilmente desenhado. Então vamos descobrir onde o ponto Q fica. Se descobrirmos qual a distância de Q a P, ou seja PQ, podemos determinar onde fica Q. Para isto, vamos imaginar a construção pronta e ver quanto vale PQ com ela.

Como temos segmentos e pontos, uma ideia interessante seria usarmos Potência de Pontos. Se O é o centro da circunferência e r o raio, então

\text{Pot}_C P=OP^2-r^2.

Porém, também podemos calcular de outra maneira (considerando que PR=2PQ):

\text{Pot}_C P=PQ.PR=2PQ^2.

Se compararmos estas igualdades:

2PQ^2=OP^2-r^2 \Leftrightarrow PQ=\sqrt{\frac{OP^2-r^2}{2}}.

Observe que \sqrt{\frac{OP^2-r^2}{2}} é constante (pois P e C são fixos). Com isso, sabemos fica Q fica a \sqrt{\frac{OP^2-r^2}{2}} de distância de P, ou seja, Q pertence a uma circunferência de centro P e raio \sqrt{\frac{OP^2-r^2}{2}}. Já sabemos construir.

E quanto ao número de soluções? Observe que Q deve pertencer a esta circunferência e a C. Mas o número de pontos de encontro entre duas circunferências é menor ou igual a 2. Logo, temos, no máximo, duas soluções para este problema.

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