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Seja $ C $ uma circunferência. Para cada ponto $ P $ qualquer, podemos associar um número que chamaremos de potência do ponto $ P $. Este número será definido por $ OP^2-r^2 $, onde $ O $ e $ r $ são o centro e raio do círculo, respectivamente. Denotaremos este número por $ \operatorname{Pot}_C P $.

ProposiçãoEditar

Se $ A $ e $ B $ pertencem a uma circunferência $ C $ e $ A $, $ B $ e $ P $ são colineares, então

$ \operatorname{Pot}_{C} P = PA.PB $.

Proposição Editar

Se $ T $ pertence a uma circunferência $ C $ e $ P $ é um ponto tal que $ PT $ é tangente a $ C $, então $ \operatorname{Pot}_{C}=PT^2 $.

Exemplo (Cone Sul 1992)Editar

Seja $ P $ um ponto sob o círculo $ C $. Encontre dois pontos $ Q $ e $ R $ no círculo, tal que $ P $, $ Q $ e $ R $ são colineares e $ Q $ é o ponto médio do segmento $ PR $. (Discuta o número de soluções).

Solução:

Observe que se encontrarmos onde fica o ponto $ Q $, o ponto $ R $ pode ser facilmente desenhado. Então vamos descobrir onde o ponto $ Q $ fica. Se descobrirmos qual a distância de $ Q $ a $ P $, ou seja $ PQ $, podemos determinar onde fica $ Q $. Para isto, vamos imaginar a construção pronta e ver quanto vale $ PQ $ com ela.

Como temos segmentos e pontos, uma ideia interessante seria usarmos Potência de Pontos. Se $ O $ é o centro da circunferência e $ r $ o raio, então

$ \operatorname{Pot}_C P=OP^2-r^2 $.

Porém, também podemos calcular de outra maneira (considerando que $ PR=2PQ $):

$ \operatorname{Pot}_C P=PQ.PR=2PQ^2 $.

Se compararmos estas igualdades:

$ 2PQ^2=OP^2-r^2 \Leftrightarrow PQ=\sqrt{\frac{OP^2-r^2}{2}}. $

Observe que $ \sqrt{\frac{OP^2-r^2}{2}} $ é constante (pois $ P $ e $ C $ são fixos). Com isso, sabemos fica $ Q $ fica a $ \sqrt{\frac{OP^2-r^2}{2}} $ de distância de $ P $, ou seja, $ Q $ pertence a uma circunferência de centro $ P $ e raio $ \sqrt{\frac{OP^2-r^2}{2}} $. Já sabemos construir.

E quanto ao número de soluções? Observe que $ Q $ deve pertencer a esta circunferência e a $ C $. Mas o número de pontos de encontro entre duas circunferências é menor ou igual a $ 2 $. Logo, temos, no máximo, duas soluções para este problema.