Potência de Ponto

Seja $C$ uma circunferência. Para cada ponto $P$ qualquer, podemos associar um número que chamaremos de potência do ponto $P$. Este número será definido por $OP^{2}-r^{2}$, onde $O$ e $r$ são o centro e raio do círculo, respectivamente. Denotaremos este número por $\operatorname {Pot} _{C}P$.

Proposição

Se $A$ e $B$ pertencem a uma circunferência $C$ e $A$, $B$ e $P$ são colineares, então

$\operatorname {Pot} _{C}P=PA.PB$.

Proposição

Se $T$ pertence a uma circunferência $C$ e $P$ é um ponto tal que $PT$ é tangente a $C$, então $\operatorname {Pot} _{C}=PT^{2}$.

Exemplo (Cone Sul 1992)

Seja $P$ um ponto sob o círculo $C$. Encontre dois pontos $Q$ e $R$ no círculo, tal que $P$, $Q$ e $R$ são colineares e $Q$ é o ponto médio do segmento $PR$. (Discuta o número de soluções).

Solução:

Observe que se encontrarmos onde fica o ponto $Q$, o ponto $R$ pode ser facilmente desenhado. Então vamos descobrir onde o ponto $Q$ fica. Se descobrirmos qual a distância de $Q$ a $P$, ou seja $PQ$, podemos determinar onde fica $Q$. Para isto, vamos imaginar a construção pronta e ver quanto vale $PQ$ com ela.

Como temos segmentos e pontos, uma ideia interessante seria usarmos Potência de Pontos. Se $O$ é o centro da circunferência e $r$ o raio, então

$\operatorname {Pot} _{C}P=OP^{2}-r^{2}$.

Porém, também podemos calcular de outra maneira (considerando que $PR=2PQ$):

$\operatorname {Pot} _{C}P=PQ.PR=2PQ^{2}$.

Se compararmos estas igualdades:

$2PQ^{2}=OP^{2}-r^{2}\Leftrightarrow PQ={\sqrt {\frac {OP^{2}-r^{2}}{2}}}.$

Observe que ${\sqrt {\frac {OP^{2}-r^{2}}{2}}}$ é constante (pois $P$ e $C$ são fixos). Com isso, sabemos fica $Q$ fica a ${\sqrt {\frac {OP^{2}-r^{2}}{2}}}$ de distância de $P$, ou seja, $Q$ pertence a uma circunferência de centro $P$ e raio ${\sqrt {\frac {OP^{2}-r^{2}}{2}}}$. Já sabemos construir.

E quanto ao número de soluções? Observe que $Q$ deve pertencer a esta circunferência e a $C$. Mas o número de pontos de encontro entre duas circunferências é menor ou igual a $2$. Logo, temos, no máximo, duas soluções para este problema.