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Este princípio diz que todo subconjunto finito de \mathbb{N} possui um menor elemento. Ele é equivalente ao Princípio da Indução Finita.

Quando usar o Princípio da Boa Ordenação?Editar

Uma das maneiras é para mostrarmos que algo é falso para todo n natural. A estratégia é a seguinte: suponha que isto não seja falso sempre. Então o conjunto dos números com esta propriedade é diferente de vazio. Pelo Princípio da Boa Ordenação, ele possui um menor elemento. Use isto para encontrar um absurdo.

Exemplo (IMO 1988)Editar

Sejam a e b inteiros positivos tais que (1+ab)|(a^2+b^2). Mostre que \frac{a^2+b^2}{1+ab} deve ser um quadrado perfeito.

Solução: Vamos supor que existam a e b inteiros tais que k=\frac{a^2+b^2}{1+ab} não seja quadrado perfeito. Tomemos estes dois números de forma que \operatorname{max}\{a,b\} seja o menor possível (ele existe por causa do Princípio da Boa Ordenação). Nosso objetivo será chegar em uma contradição: encontrar a' e b' tais que \operatorname{max}\{a',b'\} < \operatorname{max}\{a,b\}.

Como conseguir estes outros números? Basta notarmos que k=\frac{a^2+b^2}{1+ab} \Leftrightarrow a^2-kab+b^2-k=0 (I) . Existem dois valores de a que satisfazem esta equação. Aproveitaremos isto.

Mas vamos com calma. Primeiro precisamos mexer com \operatorname{max}\{a,b\}. Depende se a é maior, menor ou igual a b. Observe que a não pode ser igual a b, pois se isto ocorresse, teríamos

k=\frac{2a^2}{1+a^2}<\frac{2a^2+2}{1+a^2}=2.

Como k é natural, a única possibilidade é termos k=1, que é um quadrado perfeito, e não vale.

Sem perda de generalidade, podemos supor que a>b. Assim, \operatorname{max}\{a,b\}=a. Observe que além de a, existe um inteiro a' que também satisfaz (I). Se pensar na soma e produto das raízes, este a' satisfaz

a+a'=kb

aa'=b^2-k.

Mas a' é natural? Basta analisarmos (I) para mostrarmos que a' \geq 0. Se provarmos que \operatorname{max}\{a',b\} < \operatorname{max}\{a,b\} chegaremos em uma contradição e terminaremos o problema.

Se provarmos que a'<b, então

\operatorname{max}\{a',b\}=b<a= \operatorname{max}\{a,b\}.

Como aa'=b^2-k, então provar que a'<b equivale a mostrar que b^2-k<ab. Mas sabemos que a>b. Logo,

b^2-k<b^2<ab.

Referências BibliográficasEditar

[1] E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.

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