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O princípio da casa dos pombos é a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas, e se n>m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. Matematicamente falando, isto quer dizer que se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetora.

É também conhecido como teorema de Dirichlet ou princípio das gavetas de Dirichlet, pois o primeiro relato deste princípio teria sido feito pelo matemático alemão Dirichlet em 1834, com o nome de Schubfachprinzip ("princípio das gavetas").

O princípio da casa dos pombos é um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado em muitos problemas formais, incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito.

Embora se trate de uma evidência extremamente elementar, o princípio é útil para resolver problemas que, pelo menos à primeira vista, não são imediatos. Para aplicá-lo, devemos identificar, na situação dada, quem faz o papel dos objetos e quem faz o papel das gavetas.

Exemplo 1Editar

Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas fazendo aniversário no mesmo mês?

Solução: Pelo princípio da casa dos pombos, se houver mais pessoas do que meses, é certo que pelo menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês (note que os meses são as "casas" e as pessoas são os "pombos"). Como existem 12 meses, segue que são necessárias 13 pessoas.

Exemplo 2Editar

Em uma floresta existem 106 jaqueiras. É conhecido que cada uma dessas jaqueiras não produz anualmente mais do que 92 frutos. Prove que existem 2 jaqueiras na floresta que têm a mesma quantidade de frutos.

Solução: Para este problema temos:

  • casas: quantidades possíveis de frutos (0,1,2,3,\cdots,92);
  • pombos: jaqueiras (106);
  • relação: associamos cada jaqueira a quantidade de frutos que ela contém.

Temos 106 jaqueiras e 93 casas identificadas pelos números 0,1,2,3,\cdots,92. O número k associado a cada casa significa que nela serão colocadas jaqueiras que têm exatamente k frutos. Como 106>94=93+1, o Princípio das Casas de Pombos nos garante que existem, pelo menos, duas jaqueiras com a mesma quantidade de frutos.

Ligações externasEditar

Texto 002: Princípios das Casas de Pombos - Clubes de Matemática da OBMEP

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