FANDOM


ExemploEditar

Se três amigos têm, ao todo, $ 60 $ anos, prove que:

(a) algum deles tem $ 20 $ anos ou mais.

(b) algum deles tem $ 20 $ anos ou menos.

Solução:

(a) Se todos eles tiverem menos de $ 20 $ anos, então a soma das três idades será menor que $ 60 $.

(b) Análogo.

Exemplo (OBM 1998 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Prove que em qualquer pentágono convexo existem dois ângulos internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a $ 216^{\circ} $.

Solução: Seja $ ABCDE $ este pentágono. Suponha, por absurdo, que não existem dois ângulos consecutivos cuja soma seja maior ou igual a $ 216^{\circ} $. Então

$ \angle A + \angle B < 216^{\circ} $

$ \angle B + \angle C < 216^{\circ} $

$ \angle C + \angle D < 216^{\circ} $

$ \angle D + \angle E < 216^{\circ} $

$ \angle E + \angle A < 216^{\circ}. $

Se somarmos estas cinco desigualdades:

$ 2(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E)<1080^{\circ} \Leftrightarrow \angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E < 540^{\circ}. $

Porém a soma dos ângulos internos de um pentágono é $ 180^{\circ}.(5-2)=540^{\circ} $.

Logo, existem dois ângulos internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a $ 216^{\circ} $.