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Considerar o maior (ou o menor) elemento de um conjunto pode ser muito útil.

ExemploEditar

Se três amigos têm, ao todo, $ 60 $ anos, prove que:

(a) algum deles tem $ 20 $ anos ou mais.

(b) algum deles tem $ 20 $ anos ou menos.

Solução:

(a) Se todos eles tiverem menos de $ 20 $ anos, então a soma das três idades será menor que $ 60 $.

(b) Análogo.

Exemplo (OBM 1998 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Prove que em qualquer pentágono convexo existem dois ângulos internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a $ 216^{\circ} $.

Solução: Seja $ ABCDE $ este pentágono. Suponha, por absurdo, que não existem dois ângulos consecutivos cuja soma seja maior ou igual a $ 216^{\circ} $. Então

$ \angle A + \angle B < 216^{\circ} $

$ \angle B + \angle C < 216^{\circ} $

$ \angle C + \angle D < 216^{\circ} $

$ \angle D + \angle E < 216^{\circ} $

$ \angle E + \angle A < 216^{\circ}. $

Se somarmos estas cinco desigualdades:

$ 2(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E)<1080^{\circ} \Leftrightarrow \angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E < 540^{\circ}. $

Porém a soma dos ângulos internos de um pentágono é $ 180^{\circ}.(5-2)=540^{\circ} $.

Logo, existem dois ângulos internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a $ 216^{\circ} $.

Exemplo (Cone Sul 1999) Editar

É dado um quadrado de lado $ 1 $. Demonstrar que, para cada conjunto finito de pontos no bordo do quadrado, é possível achar um vértice do quadrado com a seguinte propriedade: a média aritmética dos quadrados das distâncias de tal vértice aos pontos do conjunto é maior ou igual a $ \frac{3}{4} $.

Solução: Vamos chamar os vértices do quadrado de $ A_1,A_2,A_3,A_4 $, enquanto os pontos do bordo serão $ X_1,X_2,\dots,X_n $.

Mostrar que a média aritmética dos quadrados das distâncias de tal vértice aos pontos do conjunto é maior ou igual a $ \frac{3}{4} $ equivale a dizer que uma das somas

$ A_1X_1^2+A_1X_2^2+\dots+A_1X_n^2, $

$ A_2X_1^2+A_2X_2^2+\dots+A_2X_n^2, $

$ A_3X_1^2+A_3X_2^2+\dots+A_3X_n^2, $

$ A_4X_1^2+A_4X_2^2+\dots+A_4X_n^2 $

é maior ou igual a $ \frac{3n}{4} $. Para isto, é suficiente mostrarmos que a soma destas quatro últimas somas é maior ou igual a $ 3n $. Vejamos esta soma:

$ A_1X_1^2+\dots+A_1X_n^2+A_2X_1^2+\dots+A_2X_n^2+A_3X_1^2+\dots+A_3X_n^2+A_4X_1^2+\dots+A_4X_n^2. $

Vamos reagrupar as somar com $ X_1 $, depois as com $ X_2 $ e assim por diante:

$ (A_1X_1^2+A_2X_1^2+A_3X_1^2+A_4X_1^2)+\dots+(A_1X_n^2+A_2X_n^2+A_3X_n^2+A_4X_n^2). $

Para mostrarmos que a soma acima é maior ou igual a $ 3n $ é suficiente provarmos que cada expressão da forma $ A_1X_i^2+A_2X_i^2+A_3X_i^2+A_4X_i^2 $ é maior ou igual a $ 3 $ para $ i=1,2,\dots,n $.

Seja $ X $ um ponto qualquer no bordo do quadrado. Considere $ x $ a distância dele a um dos vértices do lado em que ele pertence. Então a distância ao outro vértice deste lado é $ 1-x $. Então, pelo teorema de Pitágoras, as distâncias aos outros vértices será $ \sqrt{1+x^2} $ e $ \sqrt{1+(1-x)^2} $. Com isso,

$ A_1X^2+A_2X^2+A_3X^2+A_4X^2 \geq 3 \Leftrightarrow x^2+(1-x)^2+1+x^2+1+(1-x)^2 \geq 3 \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow 4x^2-4x+1 \geq 0 \Leftrightarrow (2x-1)^2 \geq 0. $

O que é sempre verdade.

Exemplo (Cone Sul 2001)Editar

Um polígono de área $ S $ está contido no interior de um quadrado de lado $ a $. Demonstre que há pelo menos dois pontos do polígono que estão separados por uma distância maior ou igual a $ \frac{S}{a} $.

Solução: Consideremos $ P $ e $ Q $ os pontos mais à esquerda e mais à direita possíveis, respectivamente. Mostraremos que a distância entre eles é maior ou igual a $ \frac{S}{a} $.

Considere $ b $ a diferença entre as abcissas de $ P $ e $ Q $. Por que devemos considerar isto? Por um motivo: conseguimos fazer o polígono ficar contido em um retângulo de lados $ a $ e $ b $.
ConeSul2001q4
Desta forma, a área do polígono é menor ou igual a área do retângulo, isto é,

$ S \leq ab \Leftrightarrow b \geq \frac{S}{a}. $

Com isso, como a distância entre $ P $ e $ Q $ é maior ou igual a $ b $, segue que a distância entre $ P $ e $ Q $ é maior ou igual a $ \frac{S}{a} $.