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(i) (Quadrado da Soma) $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $.

(ii) (Quadrado da Diferença) $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $.

(iii) (Diferença de Quadrados) $ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $.

(iv) (Soma de Cubos) $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $.

(v) (Diferença de Cubos) $ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $.

(vi) Para $ n \geq 1 $,

$ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}) $.

(vi) Para $ n $ natural ímpar,

$ a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-ab^{n-2}+b^{n-1}) $.

Outros Produtos NotáveisEditar

Existem outros produtos notáveis que aparecem nas contas às vezes e não devem ser ignorados. Eles são úteis quando aparece soma e produto das mesmas coisas em uma expressão.

$ (1+a)(1+b)=1+a+b+ab $

$ (1-a)(1-b)=1-a-b+ab. $

Exemplo (OBM 2010 - 3ª Fase - Nível 2) Editar

Sejam $ a, b $ e $ c $ reais tais que $ a\neq b $ e $ a^2(b+c)=b^2(c+a)=2010 $. Calcule $ c^2(a+b) $.

Solução: Vamos mexer nas contas para conseguirmos mais informações.

$ a^2(b+c)=2010 $

$ b^2(c+a)=2010 $.

Se subtrairmos uma igualdade da outra:

$ a^2(b+c)-b^2(c+a)=0 \Leftrightarrow a^2b-b^2a=b^2c-a^2c \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow ab(a-b)=c(b^2-a^2)\Leftrightarrow -ab(b-a)=c(b+a)(b-a) $.

Como $ a \neq b $, ou seja, $ b-a \neq 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ b-a $.

$ -ab=c(b+a) (*) $.

Podemos forçar aparece $ c^2(a+b) $, que é justamente o que queremos calcular. Para isso, podemos multiplicar ambos os lados por $ c $:

$ -abc=c^2(b+a) (**) $.

Assim, ao invés de calcularmos $ c^2(a+b) $, podemos calcular $ -abc $. Como podemos calculá-lo. Vamos mexer com o que já temos. Podemos reescrever $ (*) $ como

$ ab+bc+ca=0 $.

Para fazermos aparecer $ abc $, podemos multiplicar ambos os lados da igualdade por $ b $:

$ ab^2+b^2c+abc=0 \Leftrightarrow b^2(a+c)=-abc \Leftrightarrow -abc=2010 $.

Se voltarmos a $ (**) $:

$ c^2(b+a)=2010 $.