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Uma progressão aritmética é uma sequência (finita ou infinita) $ a_1,a_2,\dots,a_n,\dots $ em que

$ a_2-a_1=a_3-a_2=\dots=r. $

O número $ r $ é chamado de razão.

Fórmula do Termo Geral de uma Progressão AritméticaEditar

O $ n $-ésimo termo de uma progressão aritmética, isto é, $ a_n $ pode ser dado por:

$ a_n=a_1+(n-1)r. $

Soma dos $ n $ Primeiros Termos de uma Progressão AritméticaEditar

$ S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}. $

Em particular, uma soma que aparece bastante é

$ 1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}. $

Exemplo (Putnam)Editar

Seja $ x_1,x_2,x_3,\dots $ uma sequência de números reais que satisfaz

$ x_n=\frac{x_{n-2}.x_{n-1}}{2x_{n-2}-x_{n-1}} $

para $ n=3,4,5,\dots $. Estabelça uma condição necessária e suficiente para $ x_1 $ e $ x_2 $ tal que $ x_n $ é inteiro para infinitos valores de $ n $.

Solução: Vamos reescrever a igualdade do enunciado da seguinte maneira:

$ \frac{1}{x_n}=\frac{2x_{n-2}-x_{n-1}}{x_{n-2}.x_{n-1}}=\frac{2}{x_{n-1}}-\frac{1}{x_{n-2}}. $

Se fizermos $ a_n=\frac{1}{x_n} $, podemos escrevemos a condição acima da seguinte maneira:

$ a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}. $

Para $ n=3,4,5,\dots $, segue que

$ a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4=\dots $

ou seja, $ a_1,a_2,a_3,\dots $ é uma progressão aritmética. Assim, podemos saber uma maneira de calcularmos $ a_n $ e, com isso, calcularmos $ x_n $. Observe que

$ a_1=\frac{1}{x_1} $

$ r=a_2-a_1=\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}. $

Pela Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética,

$ a_n=\frac{x_2+(n-1)(x_1-x_2)}{x_1x_2}, $

de onde segue que

$ x_n=\frac{x_1x_2}{x_2+(n-1)(x_1-x_2)}. $

Se fizermos o n crescer, a tendência é que, para $ n $ suficientemente grande, o módulo do denominador irá ficar maior que o do numerador e assim $ |x_n|<1 $, ou seja, $ x_n $ será inteiro para uma quantidade infinita de valores de $ n $.

Porém se "tirarmos a força" do $ n $, então isso não pode acontecer. Como assim? Se fizermos $ x_1=x_2 $, segue que $ x_n=x_1=x_2 $ para todo $ n \geq 3 $. Logo, para a sequência tenha infinitos inteiros, basta que $ x_1=x_2 $ e que ambos sejam inteiros.

BibliografiaEditar

  • E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.