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Uma progressão aritmética é uma sequência (finita ou infinita) a_1,a_2,\dots,a_n,\dots em que

a_2-a_1=a_3-a_2=\dots=r.

O número r é chamado de razão.

Fórmula do Termo Geral de uma Progressão AritméticaEditar

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, isto é, a_n pode ser dado por:

a_n=a_1+(n-1)r.

Exemplo (Putnam)Editar

Seja x_1,x_2,x_3,\dots uma sequência de números reais que satisfaz

x_n=\frac{x_{n-2}.x_{n-1}}{2x_{n-2}-x_{n-1}}

para n=3,4,5,\dots. Estabelça uma condição necessária e suficiente para x_1 e x_2 tal que x_n é inteiro para infinitos valores de n.

Solução: Vamos reescrever a igualdade do enunciado da seguinte maneira:

\frac{1}{x_n}=\frac{2x_{n-2}-x_{n-1}}{x_{n-2}.x_{n-1}}=\frac{2}{x_{n-1}}-\frac{1}{x_{n-2}}.

Se fizermos a_n=\frac{1}{x_n}, podemos escrevemos a condição acima da seguinte maneira:

a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}.

Para n=3,4,5,\dots, segue que

a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4=\dots

ou seja, a_1,a_2,a_3,\dots é uma progressão aritmética. Assim, podemos saber uma maneira de calcularmos a_n e, com isso, calcularmos x_n. Observe que

a_1=\frac{1}{x_1}

r=a_2-a_1=\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}.

Pela Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética,

a_n=\frac{x_2+(n-1)(x_1-x_2)}{x_1x_2},

de onde segue que

x_n=\frac{x_1x_2}{x_2+(n-1)(x_1-x_2)}.

Se fizermos o n crescer, a tendência é que, para n suficientemente grande, o módulo do denominador irá ficar maior que o do numerador e assim |x_n|<1, ou seja, x_n será inteiro para uma quantidade infinita de valores de n.

Porém se "tirarmos a força" do n, então isso não pode acontecer. Como assim? Se fizermos x_1=x_2, segue que x_n=x_1=x_2 para todo n \geq 3. Logo, para a sequência tenha infinitos inteiros, basta que x_1=x_2 e que ambos sejam inteiros.


Referências BibliográficasEditar

[1] E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.

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